Transpuesta Conjugada de una Matriz

La traspuesta conjugada de una matriz puede escribirse de distintas maneras, todas ellas equivalentes:

• En matemáticas, suele representarse como $ A^* $.
• En física y en mecánica cuántica, se utiliza con mayor frecuencia la notación $ A^{\dagger} $, que se pronuncia “A dagger”.

Esta operación tiene un papel fundamental en el análisis de las matrices unitarias, donde se cumple \( U^{\dagger}U = I \), y de las matrices hermíticas, caracterizadas por la igualdad \( H^{\dagger} = H \). 

Nota. No debe confundirse la transpuesta conjugada (o adjunta hermítica) con la matriz adjunta clásica, que se utiliza para calcular la inversa de una matriz cuadrada: $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) $$ Ambos conceptos son completamente diferentes y no deben mezclarse.

Ejemplo paso a paso

Consideremos la matriz compleja:

$$ U = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

1. Calculamos su transpuesta:

$$ U^T = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

En este caso, la matriz no cambia porque es diagonal: todos los elementos distintos de cero se encuentran sobre la diagonal principal.

2. Tomamos el conjugado complejo de cada elemento.

Recordatorio. El conjugado complejo de un número se obtiene cambiando el signo de su parte imaginaria: $ \overline{a + bi} = a - bi $, y en particular $ \overline{i} = -i $. En los números reales, este proceso no altera el valor, ya que la parte imaginaria es nula. Por ejemplo, $ \overline{1} = 1 $. Por tanto, si una matriz contiene solo números reales, su transpuesta conjugada coincide con su transpuesta: $$ A^{\dagger} = A^T $$

En nuestra matriz \( U \), el único elemento complejo es \( i \), cuyo conjugado es \( -i \).

$$ U^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Así obtenemos la transpuesta conjugada de \( U \).

Propiedades fundamentales

La transpuesta conjugada posee propiedades muy útiles, análogas a las de la transpuesta habitual, pero incorporando la conjugación de los elementos complejos.

• Doble transposición conjugada
  Si aplicamos la operación dos veces, recuperamos la matriz original: $$ (A^{\dagger})^{\dagger} = A $$

  Ejemplo:
  $$ A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 0 & 2i \end{pmatrix} $$ Primero, $$ A^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 1 & -2i \end{pmatrix} $$ y al aplicar la operación nuevamente: $$ (A^{\dagger})^{\dagger} = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 0 & 2i \end{pmatrix} = A $$ La segunda conjugación revierte la primera, devolviendo la matriz original.

• Producto de matrices
  La transpuesta conjugada de un producto invierte el orden de los factores: $$ (AB)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger} $$

  Ejemplo:
  $$ A = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{pmatrix} $$ $$ AB = \begin{pmatrix} i & i \\ 0 & i \end{pmatrix}, \quad (AB)^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ -i & -i \end{pmatrix} $$ Por separado: $$ A^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -i \end{pmatrix} $$ y su producto: $$ B^{\dagger}A^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ -i & -i \end{pmatrix}. $$ Por tanto, $$ (AB)^{\dagger} = B^{\dagger}A^{\dagger}. $$

• Suma de matrices
  La transpuesta conjugada conserva la suma término a término: $$ (A + B)^{\dagger} = A^{\dagger} + B^{\dagger} $$

  Ejemplo:
  $$ A = \begin{pmatrix} i & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 3i & 0 \end{pmatrix} $$ $$ A + B = \begin{pmatrix} 1 + i & 2 + i \\ 3i & 1 \end{pmatrix}, \quad (A + B)^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 - i & -3i \\ 2 - i & 1 \end{pmatrix} $$ Por separado: $$ A^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 & -3i \\ -i & 0 \end{pmatrix} $$ $$ A^{\dagger} + B^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 - i & -3i \\ 2 - i & 1 \end{pmatrix}. $$ La igualdad se cumple perfectamente.

• Multiplicación por un escalar complejo
  Si multiplicamos una matriz por un número complejo \( c \), su transpuesta conjugada conjuga también el escalar: $$ (cA)^{\dagger} = \overline{c}\,A^{\dagger} $$

  Ejemplo:
  $$ c = 2i, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ cA = \begin{pmatrix} 2i & -2 \\ 0 & 4i \end{pmatrix}, \quad (cA)^{\dagger} = \begin{pmatrix} -2i & 0 \\ -2 & -4i \end{pmatrix} $$ Como \( \overline{c} = -2i \), $$ \overline{c}\,A^{\dagger} = (-2i)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2i & 0 \\ -2 & -4i \end{pmatrix}. $$ Se verifica que $$ (cA)^{\dagger} = \overline{c}\,A^{\dagger}. $$

Estas propiedades convierten a la transpuesta conjugada en una herramienta clave del álgebra lineal moderna. Su uso es esencial en el análisis de operadores lineales sobre espacios vectoriales complejos, y tiene aplicaciones directas en física cuántica, óptica, teoría de la información y muchas otras áreas de la ciencia y la ingeniería.