Matrices equivalentes por filas
Dos matrices se consideran equivalentes por filas si una puede transformarse en la otra mediante una sucesión finita de operaciones elementales sobre sus filas. Estas operaciones son las siguientes:
- Sumar a una fila \( R_i \) un múltiplo escalar no nulo \( k \neq 0 \) de otra fila \( R_j \) (con \( i \neq j \)): $$ R_i \leftarrow R_i + k \cdot R_j $$
- Intercambiar dos filas cualesquiera de la matriz: $$ R_i \leftrightarrow R_j $$
Aplicaciones: La equivalencia por filas se utiliza fundamentalmente para transformar una matriz en forma escalonada por filas, paso clave en la resolución de sistemas lineales. También constituye una herramienta eficaz para determinar el rango de una matriz e, indirectamente, su determinante en casos particulares.
Ejemplo práctico
Consideremos la matriz:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \end{pmatrix} $$
Aplicamos la siguiente operación elemental:
$$ R_3 \leftarrow R_3 - 2 \cdot R_1 $$
Es decir, sustituimos la tercera fila por ella misma menos dos veces la primera fila.
Nota: Esta operación también puede interpretarse como una suma de \( R_3 + (-2) \cdot R_1 \).
Obtenemos:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2-2 & 6-4 & 8-6 \end{pmatrix} $$
que se simplifica a:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
A continuación, intercambiamos las filas segunda y tercera:
$$ R_2 \leftrightarrow R_3 $$
La matriz resultante es:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$
Esta es la forma escalonada por filas de la matriz original.
Propiedades de la equivalencia por filas
La relación de equivalencia por filas presenta las siguientes propiedades fundamentales:
- Reflexividad: Toda matriz es equivalente por filas a sí misma: $$ A \sim A $$
- Simetría: Si \( A \sim B \), entonces \( B \sim A \): $$ A \sim B \ \Leftrightarrow\ B \sim A $$
- Transitividad: Si \( A \sim B \) y \( B \sim C \), entonces \( A \sim C \): $$ A \sim B,\quad B \sim C \ \Rightarrow\ A \sim C $$
Estas propiedades definen una relación de equivalencia sobre el conjunto de matrices, que constituye la base conceptual para numerosos algoritmos y teoremas en álgebra lineal, incluyendo el cálculo del rango, la resolución de sistemas y la caracterización de espacios vectoriales.
