Multiplicación de una matriz por un escalar

Cuando una matriz B se multiplica por un escalar α, se obtiene una nueva matriz, denotada B', en la que cada elemento b_ij ha sido multiplicado por α; es decir, B'_ij = α·b_ij.

$$ \alpha \cdot B = ( \alpha \cdot b_{ij} ) $$

Ejemplo práctico: Multiplicamos el escalar α = 3 por una matriz A. El resultado es una matriz cuyas entradas son todas tres veces mayores que las correspondientes de la matriz original.

Propiedades de la multiplicación escalar

La multiplicación de una matriz por un número real obedece a varias propiedades fundamentales:

1. Distributividad respecto a la suma de matrices
   Se cumple que α·(A + B) = α·A + α·B.

   Nota: A y B deben ser matrices del mismo orden, y α un número real.

2. Distributividad respecto a la suma de escalares
   El producto (α+β)·A equivale a α·A + β·A.
3. Asociatividad del producto escalar
   Multiplicar una matriz A por el producto de dos escalares equivale a aplicar los escalares en orden: (α·β)·A = α·(β·A).
4. Elemento neutro
   Multiplicar una matriz por 1 no altera sus elementos: 1·A = A. El número uno actúa como identidad multiplicativa.
5. Elemento absorbente
   Multiplicar cualquier matriz por cero produce una matriz nula: 0·A = O.
6. Inverso aditivo
   Multiplicar una matriz A por -1 da como resultado su opuesta: (-1)·A = -A.