Polinomio característico de una matriz cuadrada

El polinomio característico de una matriz cuadrada se define como el determinante de la matriz \( M \) de orden \( n \) menos \( \lambda \) por la matriz identidad del mismo orden, denotada como \( Id_n \). Se expresa mediante la siguiente fórmula: $$ p_M (\lambda) = \det(M - \lambda \cdot Id_n) $$

El polinomio característico es una herramienta fundamental para determinar los valores propios (o autovalores) de una matriz.

Ejemplo

Consideremos, por ejemplo, la siguiente matriz cuadrada de orden 2:

$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

Para calcular su polinomio característico, aplicamos la fórmula sustituyendo \( M \) y la matriz identidad \( Id_2 \):

$$ p_M (\lambda) = \det(M - \lambda \cdot Id_2) $$

$$ p_M (\lambda) = \det \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \cdot Id_2 \right) $$

$$ p_M (\lambda) = \det \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) $$

Al multiplicar \( \lambda \) por la matriz identidad, obtenemos:

$$ p_M (\lambda) = \det \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \right) $$

$$ p_M (\lambda) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} $$

Calculamos ahora el determinante:

$$ p_M (\lambda) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - (2 \cdot 3) $$

$$ p_M (\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - 6 $$

Finalmente, simplificando:

$$ p_M (\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda - 2 $$

Este polinomio permite obtener los valores propios de la matriz \( M \), resolviendo la ecuación característica \( p_M(\lambda) = 0 \).