Valores propios de una matriz
Los valores propios (también llamados valores característicos) de una matriz cuadrada \( A \) son los escalares \( \lambda \) que satisfacen la ecuación $$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$ donde \( \mathbf{v} \) es un vector no nulo denominado vector propio (o vector característico).
Esta ecuación expresa que, al multiplicar la matriz \( A \) por el vector \( \mathbf{v} \), su dirección no se altera: únicamente se modifica su módulo (o eventualmente su sentido), escalado por el factor \( \lambda \).
Para hallar los valores propios, se resuelve el polinomio característico de la matriz:
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
Aquí, \( I \) representa la matriz identidad del mismo tamaño que \( A \).
Las soluciones \( \lambda \) de esta ecuación son precisamente los valores propios de la matriz \( A \).
¿Por qué son relevantes los valores propios? Son fundamentales en numerosos contextos, como la diagonalización de matrices, el estudio de sistemas lineales, y muchas otras aplicaciones.
Un ejemplo práctico
Consideremos la siguiente matriz cuadrada \( A \):
$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
Para encontrar sus valores propios, calculamos el polinomio característico:
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
Donde \( I \) es la matriz identidad de orden 2:
$$ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} $$
El determinante de esta matriz es:
$$ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2 \cdot 1) $$
Desarrollando la expresión:
$$ \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 7\lambda + 10 $$
Resolvemos la ecuación cuadrática \( \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \):
$$ \lambda = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} $$
Obtenemos entonces:
$$ \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2 $$
Una vez obtenidos los valores propios, podemos determinar los correspondientes vectores propios.
¿Cómo se determinan los vectores propios? Para cada valor propio \( \lambda \), se resuelve la ecuación \( (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \).
- Para \( \lambda_1 = 5 \): $$ A - 5I = \begin{pmatrix} 4 - 5 & 2 \\ 1 & 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $$ Resolvemos: $$ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ que equivale al sistema: $$ \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 2y $$ Por tanto, los vectores propios asociados a \( \lambda_1 = 5 \) tienen la forma: $$ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2y \\ y \end{pmatrix} $$ Una posible elección es \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \).
- Para \( \lambda_2 = 2 \): $$ A - 2I = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 2 \\ 1 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ Resolvemos: $$ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ lo cual equivale a: $$ \begin{cases} 2x + 2y = 0 \\ x + y = 0 \end{cases} \Rightarrow x = -y $$ Así, los vectores propios correspondientes a \( \lambda_2 = 2 \) son de la forma: $$ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix} $$ Por ejemplo, \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \).
En resumen, los valores propios y sus vectores asociados son:
- $ \lambda_1 = 5, \quad \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $
- $ \lambda_2 = 2, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $
Ejemplo 2
En este caso, calcularemos los valores propios a partir de un sistema de ecuaciones lineales.
Consideremos el siguiente sistema:
$$ \begin{cases} 3x + 2y &= 6, \\ 4x + y &= 5 \end{cases} $$
Un sistema lineal puede escribirse en forma matricial como:
$$ A \mathbf{x} = \mathbf{b} $$
Donde \( A \) es la matriz de coeficientes, \( \mathbf{x} \) el vector de incógnitas, y \( \mathbf{b} \) el vector de términos independientes.
La matriz de coeficientes es:
$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} $$
Para determinar sus valores propios, se resuelve el polinomio característico:
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
Construimos la matriz \( A - \lambda I \):
$$ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 4 & 1 - \lambda \end{bmatrix} $$
Calculamos su determinante:
$$ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(1 - \lambda) - (4 \cdot 2) $$
$$ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(1 - \lambda) - 8 $$
Desarrollando la expresión:
$$ \det(A - \lambda I) = 3 - 3\lambda - \lambda + \lambda^2 - 8 $$
$$ \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 4\lambda - 5 $$
Así, el polinomio característico es:
$$ \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0 $$
Resolvemos esta ecuación cuadrática mediante la fórmula general:
$$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Con \( a = 1 \), \( b = -4 \) y \( c = -5 \):
$$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} $$
$$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} $$
$$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} $$
$$ \lambda = \frac{4 \pm 6}{2} $$
Obtenemos entonces:
$$ \lambda = \begin{cases} \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \\ \\ \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{cases} $$
Por lo tanto, los valores propios de la matriz \( A \) son \( \lambda_1 = 5 \) y \( \lambda_2 = -1 \).
El análisis puede continuar a partir de estos resultados.
