Combinación lineal de vectores
Una combinación lineal consiste en sumar varios vectores multiplicados por sus correspondientes escalares.
Para contextualizar, consideremos un espacio vectorial V definido sobre un cuerpo K. En una de mis exploraciones, seleccioné m vectores de este espacio, que denotaremos como v1,...,vm ∈ V. Paralelamente, elegí un conjunto de escalares α1,...,αm ∈ K. La combinación lineal de estos vectores y escalares se expresa así: $$ v = α_1 v_1 + ... + α_m v_m $$
Lo que siempre me resulta interesante es que el vector resultante permanece dentro del propio espacio V. Esto se debe a que las operaciones que intervienen - suma y multiplicación por escalares - son cerradas en V, es decir, sus resultados siguen perteneciendo a V.
Ejemplo
Para mayor claridad, ilustraré el concepto con un ejemplo.
En el contexto del espacio vectorial V sobre el cuerpo R3, consideré en cierta ocasión los siguientes dos vectores:
$$ v_1 = \{ 4,5,6 \} $$ $$ v_2 = \{ 7,8,9 \} $$
Además, elegí dos escalares tomados del conjunto de los números reales:
$$ α_1 = 1 , \quad α_2 = 2 $$
La combinación lineal de estos vectores, con los escalares indicados, se obtiene multiplicando cada vector por su respectivo escalar y sumando los resultados:
$$ v = α_1 v_1 + α_2 v_2 $$
El desarrollo es el siguiente:
$$ v = 1 \cdot v_1 + 2 \cdot v_2 $$
$$ v = 1 \cdot \{ 4,5,6 \} + 2 \cdot \{ 7,8,9 \} $$
$$ v = \{ 4,5,6 \} + \{ 14,16,18 \} $$
$$ v = \{ 4+14, 5+16, 6+18 \} $$
$$ v = \{ 18,21,24 \} $$
Por lo tanto, concluí que el vector \{ 18,21,24 \} es el resultado de la combinación lineal de los vectores y escalares que había seleccionado.
Combinación lineal trivial
No obstante, surgió una cuestión relevante: ¿qué ocurre si todos los escalares son nulos? Este caso nos conduce al concepto de combinación lineal trivial:
$$ v = 0 \cdot v_1 + ... + 0 \cdot v_m $$
En este escenario:
$$ \{ α_1 , ... , α_m \} = \{ 0 , ... , 0 \} $$
La consecuencia es inmediata: el vector v es igual al vector nulo.
$$ v = 0 $$
