Subespacios vectoriales y combinaciones lineales
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea W un subconjunto de V. Decimos que W es un subespacio vectorial de V si es cerrado bajo combinaciones lineales.
En otras palabras, para cualesquiera
$$ w_1, ..., w_m \in W \quad \text{y} \quad a_1, ..., a_m \in K $$
se cumple que:
$$ a_1 w_1 + \dots + a_m w_m \in W $$
Explicación
El hecho de que cualquier combinación lineal de elementos de W pertenezca nuevamente a W implica, de forma natural, las dos propiedades fundamentales que caracterizan a un subespacio vectorial:
- Para todos los vectores $w_1, w_2 \in W$, su suma $w_1 + w_2$ también pertenece a W.
- Para cualquier escalar $\lambda \in K$ y todo vector $w \in W$, el producto $\lambda w$ también pertenece a W.
Como consecuencia, toda combinación lineal de vectores en W sigue siendo un elemento del espacio vectorial V.
Por lo tanto, si un subconjunto W es cerrado bajo combinaciones lineales, entonces cumple con los requisitos para ser considerado un subespacio vectorial de V.
El conjunto Lk de todas las combinaciones lineales
Dado un conjunto de vectores $v_1, \dots, v_m$ en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de dichos vectores con coeficientes en K se denota por $L_k$:
$$ L_k \{ v_1, \dots, v_m \} = \left\{ \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_m v_m \mid \alpha_1, \dots, \alpha_m \in K \right\} $$
Este conjunto $L_k$ constituye un subespacio vectorial de V, ya que es cerrado tanto bajo la adición de vectores como bajo la multiplicación por escalares, es decir, bajo cualquier combinación lineal.
Además, es el subespacio vectorial mínimo de V que contiene a los vectores $v_1, \dots, v_m$.
Nota. En la literatura de álgebra lineal, el conjunto $L_k$ también puede aparecer con otras notaciones, como Link o spanK.
