Pseudoescalares
Un pseudoescalar es una magnitud física que, al igual que un escalar ordinario, permanece invariante bajo rotaciones, pero que cambia de signo cuando se aplica una transformación de paridad, es decir, una inversión espacial.
Dicho de otro modo, un pseudoescalar es una magnitud escalar cuyo valor depende de la orientación del espacio.
Para comprender bien qué es un pseudoescalar, conviene empezar aclarando qué se entiende por escalar.
Diferencia entre un escalar y un pseudoescalar
Un escalar es una magnitud descrita por un único número y no depende de ninguna dirección. Su valor permanece inalterado incluso cuando el sistema se observa en una configuración especular.
Ejemplos habituales de magnitudes escalares son la masa, la temperatura y la energía.
Ejemplo. En un punto (x,y) de una superficie, la temperatura medida es de 22 grados. Si se invierten las coordenadas espaciales ($ x \to -x $, $ y \to -y $), la temperatura en el punto (-x,-y) sigue siendo de 22 grados. Es decir, incluso al observar la superficie "en un espejo", la temperatura en ese punto no cambia.
Un pseudoescalar, en cambio, sí cambia de signo bajo una inversión espacial:
\[ (x, y, z) \rightarrow (-x, -y, -z) \]
Si una magnitud tiene valor \( S \), después de la reflexión pasa a ser:
\[ S \rightarrow -S \]
Por tanto, aunque desde el punto de vista matemático sea un escalar, un pseudoescalar depende de la orientación del espacio.
Un ejemplo concreto
Un ejemplo fundamental de pseudoescalar es el producto escalar triple:
\[ S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \]
La cantidad \( S \) es un escalar desde el punto de vista matemático, pero cambia de signo cuando se aplica una inversión espacial.
Esto ocurre porque el producto vectorial \( \vec b \times \vec c \) es un pseudovector y, al tomar su producto escalar con un vector ordinario \( \vec a \), se obtiene un pseudoescalar.
Desde un punto de vista geométrico, esta magnitud representa el volumen orientado del paralelepípedo definido por los tres vectores.
Consideremos, por ejemplo, los siguientes vectores en el espacio:
\[ \vec a = (1,0,0) \]
\[ \vec b = (0,1,0) \]
\[ \vec c = (0,0,1) \]
El producto escalar triple se escribe como:
\[ S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \]
Primero calculamos el producto vectorial:
\[ \vec b \times \vec c = (1,0,0) \]
Luego calculamos el producto escalar:
\[ S = \vec a \cdot (1,0,0) \]
\[ S = (1,0,0) \cdot (1,0,0) = 1 \]
Por tanto, el valor del pseudoescalar es:
\[ S = 1 \]
Ahora aplicamos una transformación de paridad, es decir, una inversión espacial:
\[ (x,y,z) \to (-x,-y,-z) \]
Los vectores pasan a ser:
\[ \vec a' = (-1,0,0) \]
\[ \vec b' = (0,-1,0) \]
\[ \vec c' = (0,0,-1) \]
Recalculamos el producto escalar triple:
\[ S = \vec a' \cdot (\vec b' \times \vec c') \]
Primero, el producto vectorial:
\[ \vec b' \times \vec c' = (1,0,0) \]
y, por tanto:
\[ S = \vec a' \cdot (1,0,0) \]
\[ S = (-1,0,0) \cdot (1,0,0) \]
\[ S = -1 \]
El valor numérico cambia de signo tras la inversión espacial, que es precisamente el efecto característico de la transformación de paridad.
\[ S = 1 \quad \longrightarrow \quad S' = -1 \]
Esto muestra que el producto escalar triple es un pseudoescalar: se comporta como un escalar bajo rotaciones, pero cambia de signo bajo una inversión espacial, a diferencia de un escalar auténtico como la temperatura.
Significado físico de los pseudoescalares
Los pseudoescalares aparecen con frecuencia en física siempre que la orientación espacial desempeña un papel relevante. Son especialmente importantes en teorías donde existe violación de la paridad o en magnitudes asociadas a la quiralidad y a la asimetría entre izquierda y derecha.
Y así sucesivamente.
