Vector nulo
Un vector nulo es un vector cuya magnitud es cero y cuyo origen coincide con su extremo. Se representa con el símbolo: $$ \vec{0} = \overrightarrow{OO} $$
En otras palabras, el vector nulo es aquel cuyo punto inicial (O) y punto final (O) son el mismo.
El vector nulo carece de dirección y sentido, y su magnitud (longitud) es exactamente cero.
Nota: El vector nulo constituye el elemento neutro del espacio vectorial \( V \), y actúa como identidad aditiva para los vectores \( \vec{v} \) de dicho espacio. $$ \vec{v} + \vec{0} = \vec{v} \:\:\: \forall \ \vec{v} \in V $$ Además, la suma de dos vectores nulos también da como resultado un vector nulo: $$ \vec{0} + \vec{0} = \vec{0} $$ De igual modo, el inverso aditivo del vector nulo es el propio vector nulo: $$ -\vec{0} = \vec{0} $$
Todo espacio vectorial posee un único vector nulo, independientemente de su dimensión. Este vector se caracteriza por tener magnitud cero y todos sus componentes iguales a cero.
Su unicidad queda garantizada por las propiedades fundamentales de los espacios vectoriales, en particular por la definición del elemento neutro respecto a la operación de suma.
Ejemplo
Por ejemplo, en el espacio vectorial \( \mathbb{R} \), que corresponde al conjunto de los números reales, el vector nulo es simplemente el número \( 0 \), que actúa como identidad aditiva en este espacio.
$$ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} $$
En el espacio vectorial \( \mathbb{R}^2 \), formado por pares ordenados de números reales \( (x, y) \), el vector nulo es \( \mathbf{0} = (0, 0) \), donde ambos componentes valen \( 0 \).
$$ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
De forma general, en un espacio vectorial \( \mathbb{R}^n \), el vector nulo es \( \mathbf{0} = (0, 0, \dots, 0) \).
$$ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$
El vector nulo como identidad aditiva
La suma de cualquier vector \( \mathbf{v} \) con el vector nulo \( \mathbf{0} \) da como resultado el propio vector original: $$ \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} $$
Esta propiedad se deriva directamente de la definición del vector nulo como identidad aditiva en un espacio vectorial.
Ejemplo
Consideremos un vector \( \vec{v} \) en el espacio vectorial \( \mathbb{R}^2 \):
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $$
El vector nulo en este espacio es \( \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).
Al sumar el vector nulo a \( \vec{v} \), obtenemos \( \vec{v} \):
$$ \vec{v} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 3 + 0 \\ -2 + 0 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v} + \vec{0} = \vec{v} $$
Y así sucesivamente.
