Teorema del Valor Medio de Lagrange

¿Qué establece el Teorema del Valor Medio de Lagrange?

Sea \( f(x) \) una función continua en el intervalo cerrado \( [a,b] \) y derivable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Entonces existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b) \) en el que la derivada de la función coincide con la pendiente de la recta secante que une los puntos \( (a,f(a)) \) y \( (b,f(b)) \):$$ f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

El Teorema del Valor Medio de Lagrange es uno de los resultados más importantes del cálculo diferencial. Permite conectar dos ideas fundamentales: la variación media de una función en un intervalo y su variación instantánea en un punto concreto.

Dicho de forma sencilla, si una función cumple las condiciones del teorema, existe al menos un punto en el que su ritmo de cambio instantáneo coincide exactamente con el ritmo medio de cambio observado entre los extremos del intervalo.

La interpretación geométrica es especialmente intuitiva. El teorema garantiza que existe al menos un punto del intervalo \( (a,b) \) donde la recta tangente a la curva es paralela a la recta secante que une los puntos extremos \( (a,f(a)) \) y \( (b,f(b)) \).

En consecuencia, la pendiente de la tangente en ese punto es igual a la pendiente de la secante. Es decir, la tasa de variación instantánea coincide con la tasa de variación media calculada en todo el intervalo.

El teorema asegura la existencia de al menos un punto con esta propiedad, aunque en muchos casos pueden existir varios puntos que satisfagan la misma condición.

Nota. La continuidad no es suficiente para aplicar el Teorema del Valor Medio de Lagrange. Además de ser continua, la función debe ser derivable en todos los puntos del intervalo abierto \( (a,b) \). En el ejemplo siguiente se cumple que \( f(a)=f(b) \) y que la función es continua en \( [a,b] \). Sin embargo, presenta un punto anguloso en \( x_0 \in (a,b) \), por lo que no es derivable en ese punto. Como consecuencia, no existe ningún punto del intervalo en el que la recta tangente sea paralela a la recta \( AB \).

Ejemplo práctico

Consideremos la función \( f(x) = x^2 \), que es continua en el intervalo [0,2] y derivable en (0,2).

$$ f(x)=x^2 $$

El punto donde se cumple el teorema de Lagrange debe satisfacer:

$$ f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Como la derivada de \( f(x)=x^2 \) es \( f'(x)=2x \), resulta:

$$ 2x_0 = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Con los extremos \( a=0 \) y \( b=2 \), se obtiene:

$$ 2x_0 = \frac{f(2)-f(0)}{2-0} $$

$$ 2x_0 = \frac{4-0}{2-0} $$

$$ 2x_0 = 2 $$

De donde se deduce:

$$ x_0 = \frac{2}{2} = 1 $$

En \( x_0 = 1 \), la derivada \( f'(x_0) \) coincide con la pendiente de la recta secante que une los extremos del intervalo [a,b].

Demostración y explicación

Sea \( f(x) \) una función continua en [a,b] y derivable en (a,b).

La ecuación de la recta secante que une los puntos extremos a y b es:

$$ r: f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x - a) $$

Representada en el plano cartesiano, se ve así:

Definimos una nueva función \( g(x) \), que representa la diferencia entre f(x) y la recta r:

$$ g(x) = f(x) - r $$

$$ g(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x - a) \right] $$

Por construcción, esta diferencia \( f(x) - r \) es igual a cero en los extremos a y b.

En consecuencia, g(x) también se anula en dichos puntos.

Verificación. En \( x = a \): $$ g(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x - a) \right] $$ $$ g(a) = f(a) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (a - a) \right] $$ $$ g(a) = f(a) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot 0 \right] $$ $$ g(a) = f(a) - f(a) $$ $$ g(a) = 0 $$
En \( x = b \): $$ g(b) = f(b) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (b - a) \right] $$ $$ g(b) = f(b) - \left[ f(a) + f(b) - f(a) \right] $$ $$ g(b) = f(b) - f(b) $$ $$ g(b) = 0 $$

Como g(x) se anula en los dos extremos, $$ g(a) = g(b) = 0 $$ por el teorema de Rolle, debe existir al menos un punto \( x_0 \in (a,b) \) en el que la derivada se anule: $$ g'(x_0)=0 $$

Derivamos g(x) en el intervalo (a,b):

$$ D[g(x)] = D\left[ f(x) - \left( f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x - a) \right) \right] $$

$$ g'(x) = D[f(x)] - D\left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x - a) \right] $$

$$ g'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Como \( g'(x_0) = 0 \), obtenemos:

$$ 0 = f'(x_0) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

De aquí se concluye que la derivada es igual a la pendiente de la secante que une a y b:

$$ f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Desde un punto de vista geométrico, la tangente en \( x_0 \) -es decir, la derivada \( f'(x_0) \)- tiene la misma pendiente que la recta secante r.

De este modo queda demostrada la validez del teorema de Lagrange.

Demostración 2

Existe una segunda demostración, especialmente elegante, que se basa en el Teorema de Rolle.

Sea \( f(x) \) una función continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).

Definimos la función auxiliar

\[ F(x)=f(x)-kx \]

donde \( k \) es una constante real.

Dado que \( f(x) \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \), la función \( F(x) \) también posee estas mismas propiedades. Restar una función lineal no modifica ni la continuidad ni la derivabilidad.

Elegimos ahora la constante \( k \) de forma que la función auxiliar tome el mismo valor en los extremos del intervalo:

\[ F(a)=F(b) \]

Cuando esta condición se cumple, podemos aplicar el Teorema de Rolle.

Como \( F(a)=f(a)-ka \) y \( F(b)=f(b)-kb \), se tiene

\[ f(a)-ka=f(b)-kb \]

Despejando \( k \), obtenemos

\[ f(a)-f(b)=ka-kb \]

\[ f(a)-f(b)=k(a-b) \]

\[ k=\frac{f(a)-f(b)}{a-b} \]

Multiplicando numerador y denominador por \( -1 \), resulta

\[ k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Sustituyendo este valor en la definición de \( F(x) \), obtenemos

\[ F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x \]

La función \( F(x) \) cumple ahora todas las hipótesis del Teorema de Rolle: es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y satisface \( F(a)=F(b) \).

Por tanto, existe al menos un punto \( c \in (a,b) \) tal que

\[ F'(c)=0 \]

Calculemos la derivada de \( F(x) \):

\[ F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Evaluando esta expresión en \( c \), obtenemos

\[ F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Como \( F'(c)=0 \), se sigue que

\[ f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \]

Sumando el segundo término a ambos lados de la igualdad, resulta

\[ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Hemos llegado exactamente a la conclusión del Teorema del Valor Medio de Lagrange.

Por lo tanto, el teorema queda demostrado.

Q. E. D. 

Notas

El siguiente corolario es una de las aplicaciones más importantes del teorema del valor medio de Lagrange. Gracias a él, es posible identificar de forma inmediata cuándo una función mantiene el mismo valor en todos los puntos de un intervalo.

• Corolario: una función con derivada nula es constante
  Si una función f(x) es continua en el intervalo [a,b], derivable en el intervalo (a,b) y cumple que $ f'(x)=0 $ para todo $ x \in (a,b) $, entonces la función es constante en todo el intervalo [a,b].
  

  Demostración. Sean \( x_1,x_2 \in [a,b] \) tales que \(x_1<x_2 \). Como \( f \) es continua en \([a,b] \) y derivable en \((a,b) \), también es continua en \([x_1,x_2] \) y derivable en \((x_1,x_2) \). Aplicando el teorema del valor medio de Lagrange, existe al menos un punto \(c \in (x_1,x_2) \) para el cual \[ f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \] Por hipótesis, la derivada es nula en todos los puntos del intervalo, por lo que en particular \[ f'(c)=0 \] Sustituyendo este resultado en la igualdad anterior, se obtiene \[ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0 \] Como \(x_2 \neq x_1 \), el denominador es distinto de cero. Por tanto, \[ f(x_2)-f(x_1)=0 \] De donde se sigue que \[ f(x_2)=f(x_1) \] Dado que los puntos \( x_1 \) y \( x_2 \) se eligieron arbitrariamente dentro del intervalo \( [a,b] \), esta igualdad es válida para cualquier par de puntos del intervalo. En consecuencia, la función toma el mismo valor en todos los puntos de \([a,b] \). Por definición, esto significa que la función es constante. Es decir, \[ f(x)=k \qquad \forall \ x\in [a,b] \] Queda así demostrada la afirmación.

• Corolario del teorema del valor medio: si dos funciones tienen la misma derivada, difieren en una constante
  Sean $ f(x) $ y $ g(x) $ dos funciones continuas en el intervalo cerrado $ [a,b] $ y derivables en el intervalo abierto $ (a,b) $. Si sus derivadas son iguales en todos los puntos del intervalo, es decir, si $ f'(x)=g'(x) $ para todo $ x \in (a,b) $, entonces ambas funciones solo pueden diferir en una constante. En otras palabras, existe un número real $ k $ tal que: $$ f(x)-g(x)=k \qquad \forall \ x \in [a,b] $$
  

  Demostración. Consideremos la función auxiliar $ z(x) $, definida como la diferencia entre ambas funciones: $$ z(x)=f(x)-g(x) $$ Dado que $ f(x) $ y $ g(x) $ son continuas en $ [a,b] $ y derivables en $ (a,b) $, la función $ z(x) $ también cumple estas mismas propiedades. Su derivada es: $$ z'(x)=f'(x)-g'(x) $$ Como, por hipótesis, $ f'(x)=g'(x) $, se sigue que: $$ z'(x)=0 \qquad \forall \ x \in (a,b) $$ El corolario del Teorema del Valor Medio establece que toda función continua en $ [a,b] $, derivable en $ (a,b) $ y con derivada nula en todo el intervalo debe ser constante. Por lo tanto, existe una constante $ k $ tal que: $$ z(x)=k \qquad \forall \ x \in [a,b] $$ Sustituyendo de nuevo $ z(x)=f(x)-g(x) $, obtenemos: $$ f(x)-g(x)=k \qquad \forall \ x \in [a,b] $$ Con esto queda demostrada la afirmación.