Derivada del logaritmo
La derivada del logaritmo en base $a>0$, en un punto $x>0$, es $$ D[ \log_a x ] = \frac{1}{x} \log_a e $$ mientras que la derivada del logaritmo natural se reduce a $$ D[ \log x ] = D[ \log_e x ] = D[ \ln x ] = \frac{1}{x} $$
Un ejemplo práctico
Consideremos la función $f(x)$:
$$ f(x) = \log(2x+3) $$
Se trata de una función compuesta, formada por el logaritmo natural $h(x)$ y la función interior $g(x)=2x+3$:
$$ h(g(x)) = \log(g(x)) $$
$$ g(x) = 2x+3 $$
Por lo tanto, aplicamos la regla de la cadena para funciones compuestas:
$$ f'(x) = D[h(g(x))] \cdot D[g(x)] $$
$$ f'(x) = D[\log(2x+3)] \cdot D[2x+3] $$
Recordemos que la derivada del logaritmo natural $\log(x)$ es $1/x$.
Así, la derivada de $\log(2x+3)$ resulta ser:
$$ f'(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot D[g(x)] $$
Como la derivada de $g(x)=2x+3$ es $2$, obtenemos:
$$ f'(x) = \frac{1}{2x+3} \cdot 2 $$
En consecuencia, la derivada de $f(x)$ es:
$$ f'(x) = \frac{2}{2x+3} $$
Demostración
Para deducir la derivada de la función logarítmica, partimos de la definición de derivada:
\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Consideremos la función \( f(x)=\log_a x \). Al sustituir \( f(x) \) y \( f(x+h) \) en la definición anterior, obtenemos:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a x}{h} \]
Ahora aplicamos una de las propiedades fundamentales de los logaritmos:
\[ \log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y} \]
Gracias a esta identidad, la expresión puede escribirse como
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a\frac{x+h}{x}}{h} \]
Simplificando la fracción dentro del logaritmo, resulta
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h} \]
Para preparar el cálculo del límite, reescribimos el denominador multiplicando y dividiendo por \( x \):
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h\cdot\frac{x}{x}} \]
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}\cdot x} \]
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0}\left(\frac{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}\right)\cdot\frac{1}{x} \]
Como \( \frac{1}{x} \) no depende de \( h \), puede extraerse fuera del límite:
\[ f'(x) = \frac{1}{x}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}} \]
Introducimos ahora el cambio de variable
\[ t=\frac{h}{x} \]
de modo que el límite se transforma en
\[ \lim_{t\to 0}\frac{\log_a(1+t)}{t} \]
Se trata de un límite notable muy conocido en cálculo diferencial, cuyo valor es
\[ \lim_{t\to 0}\frac{\log_a(1+t)}{t}=\log_a e \]
Sustituyendo este resultado en la expresión de la derivada, obtenemos
\[ f'(x)=\frac{1}{x}\cdot\log_a e \]
Por lo tanto, queda demostrado que la derivada del logaritmo en base \( a \) viene dada por
\[ \boxed{f'(x)=\frac{1}{x}\log_a e} \]
Derivada del logaritmo natural
El logaritmo natural, también llamado logaritmo neperiano, es un caso particular de la función logarítmica en el que la base es \( e \).
Si sustituimos \( a=e \) en la fórmula obtenida anteriormente, resulta
\[ f'(x)=\frac{1}{x}\cdot\log_e e \]
Como
\[ \log_e e=1 \]
la expresión se simplifica inmediatamente a
\[ f'(x)= \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} \]
En consecuencia, la derivada del logaritmo natural es
\[ \boxed{D\ln x=\frac{1}{x}} \]
Con ello queda completada la demostración.
Demostración alternativa
La derivada de una función puede calcularse a partir de su definición como límite:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
En este caso, la función es:
$$ f(x) = \log_a x $$
Sustituyendo en el cociente incremental tenemos:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h} $$
Simplificamos con las propiedades de los logaritmos:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \big[ \log_a(x+h)-\log_a x \big] $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot \log_a \frac{x+h}{x} $$
Explicación. El logaritmo de un cociente equivale a la diferencia de logaritmos: $$ \log_x \frac{a}{b} = \log_x a - \log_x b $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \log_a \left( \frac{x+h}{x} \right)^{\frac{1}{h}} $$
Explicación. El logaritmo de una potencia $b^a$ se transforma en el exponente multiplicado por el logaritmo de la base: $$ \log_x b^a = a \cdot \log_x b $$
$$ f'(x) = \log_a \left[ \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{x+h}{x} \right)^{\frac{1}{h}} \right] $$
$$ f'(x) = \log_a \left[ \lim_{h \rightarrow 0} \left( 1+\frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}} \right] $$
Podemos reescribir la fracción $h/x$ como el cociente $(1/x)/(1/h)$:
$$ f'(x) = \log_a \left[ \lim_{h \rightarrow 0} \left( 1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} \right)^{\frac{1}{h}} \right] $$
Cuando $h$ tiende a cero, $1/h$ tiende a infinito.
Esto nos permite reducir el límite al límite fundamental, que converge a $e^{1/x}$:
$$ f'(x) = \log_a \left[ \lim_{h \rightarrow 0} \left( 1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} \right)^{\frac{1}{h}} \right] = \log_a \left( e^{\frac{1}{x}} \right) $$
$$ f'(x) = \log_a e^{\frac{1}{x}} $$
Explicación. El límite $$ \lim_{h \rightarrow 0} \left( 1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} \right)^{\frac{1}{h}} $$ puede reescribirse con el cambio $y = 1/h$. Cuando $h \to 0$, $y \to \infty$: $$ \lim_{y \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{\frac{1}{x}}{y} \right)^y $$ Este es el límite clásico que converge a $e^{1/x}$: $$ \lim_{y \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{\frac{1}{x}}{y} \right)^y = e^{\frac{1}{x}} $$
Aplicando un último paso algebraico obtenemos la regla de derivación:
$$ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \log_a e $$
Explicación. Aquí utilizamos la propiedad ya citada: el logaritmo de una potencia $b^a$ equivale a $a$ multiplicado por el logaritmo de $b$: $$ \log_x b^a = a \cdot \log_x b $$ En este caso, aplicamos la propiedad en sentido inverso para extraer el exponente del logaritmo.
Así obtenemos la fórmula de la derivada del logaritmo en base $a$:
$$ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \log_a e $$
El caso del logaritmo natural
Para el logaritmo natural, la base $a$ es $e$, el número de Euler:
$$ \ln e = \log_e e $$
Como el argumento y la base coinciden, el valor del logaritmo es 1:
$$ \ln e = \log_e e = \log e = 1 $$
Explicación. Cuando el argumento y la base de un logaritmo coinciden, el exponente $x$ que satisface $b^x = k$ debe ser uno: $$ x = \log_b k \Rightarrow b^x = k $$
En consecuencia, la derivada del logaritmo natural se simplifica a:
$$ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \log_a e = \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} $$
Y así sucesivamente.
