Derivada de una función inversa
Sea $f(x)$ una función continua y estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en un intervalo $[a, b]$. Si $f$ es derivable en un punto $x$ de $(a, b)$ y $f'(x) \ne 0$, entonces su función inversa $f^{-1}$ también es derivable en el punto $y = f(x)$, y su derivada está dada por: $$ D f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}. $$
Un ejemplo práctico
Consideremos la función:
$$ y = f(x) = x^2 $$
Esta función es estrictamente creciente para $x > 0$.
Nota. Una función es estrictamente creciente si, para todo par de valores $x_1$ y $x_2$ positivos, se cumple: $$ x_1 < x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1) < f(x_2). $$
La función inversa de $f(x)$ es:
$$ x = f^{-1}(y) = \sqrt{y}. $$
Explicación. Dada la función $$ y = x^2, $$ para expresar $x$ en términos de $y$ tomamos la raíz cuadrada en ambos lados: $$ \sqrt{y} = \sqrt{x^2} $$ $$ \sqrt{y} = x $$ Así obtenemos la función inversa: $x = f^{-1}(y)$.
Ejemplo. Si $x = 3$, entonces $$ y = f(x) = x^2 = 3^2 = 9. $$ Para $y = 9$, la función inversa devuelve $$ x = f^{-1}(y) = \sqrt{y} = \sqrt{9} = 3. $$
Como $f(x)$ es derivable para $x > 0$ y estrictamente creciente, su derivada es:
$$ D[f(x)] = D[x^2] = 2x. $$
La derivada de la inversa también existe para $x > 0$:
$$ D[f^{-1}(y)] = D[\sqrt{y}] = \frac{1}{2 \sqrt{y}}. $$
Si aplicamos el teorema de la derivada de la función inversa, llegamos al mismo resultado:
$$ D f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}. $$
$$ D f^{-1}(y) = \frac{1}{D[x^2]} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}. $$
Ambos procedimientos, por tanto, coinciden plenamente.
Demostración
Dada una función $f(x)$, su inversa satisface:
$$ x = f^{-1}(y). $$
La derivada de la función inversa $f^{-1}$ se define como el límite de su cociente incremental cuando $h$ tiende a cero:
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \to 0} \frac{f^{-1}(y + h) - f^{-1}(y)}{h}. $$
Sea:
$$ \Delta x = f^{-1}(y + h) - f^{-1}(y). $$
Entonces, la derivada se escribe como:
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta x}{h}. $$
Pero:
$$ h = f(x + \Delta x) - f(x), $$
lo que permite reescribir el límite en la forma:
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta x}{f(x + \Delta x) - f(x)}. $$
Esto equivale a:
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}}. $$
A medida que $h \to 0$, también $\Delta x \to 0$ porque:
$$ \Delta x = f^{-1}(y + h) - f^{-1}(y). $$
De este modo, el límite puede expresarse únicamente en términos de $\Delta x$:
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}}. $$
El denominador es el cociente incremental de $f(x)$, que tiende a la derivada $f'(x)$ cuando $\Delta x \to 0$:
$$ D[f^{-1}(y)] = \frac{1}{f'(x)}. $$
Por tanto:
$$ D[f^{-1}(y)] = \frac{1}{f'(x)}. $$
Con ello queda demostrada la regla para derivar funciones inversas.
Corolario
Si en un punto $x_0$ la derivada $f'(x)$ es nula, la función inversa $f^{-1}$ no es derivable en el punto correspondiente $y_0 = f(x_0)$, y recíprocamente:
$$ \frac{df(x_0)}{dx} = 0 \ \Leftrightarrow \ \nexists \ \frac{d f^{-1}(y_0)}{dy}. $$
De igual modo, si la derivada $f'(x)$ no existe en $x_0$, entonces la derivada de la inversa $f^{-1}$ se anula en $y_0 = f(x_0)$, y viceversa:
$$ \nexists \ \frac{df(x_0)}{dx} \ \Leftrightarrow \ \frac{d f^{-1}(y_0)}{dy} = 0. $$
Y así sucesivamente.
