Derivada de la función inversa
Sea f(x) una función continua y estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en un intervalo [a,b]. Si f es derivable en un punto x del intervalo (a,b) y se cumple que f'(x)≠0, entonces su función inversa f-1 también es derivable en el punto correspondiente y=f(x). En ese caso, la derivada de la función inversa se calcula mediante la fórmula $$ D f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$
Este resultado permite hallar la derivada de una función inversa sin necesidad de derivarla de forma directa.
Ejemplo práctico
Consideremos la función
\[ y=x^3 \]
Su función inversa es
\[ x=\sqrt[3]{y} \]
La derivada de la función original es
\[ f'(x)=3x^2 \]
Aplicando la fórmula de la derivada de la función inversa, obtenemos
\[ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)} \]
\[ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3x^2} \]
Por ahora, el resultado está expresado en función de x. Para escribirlo únicamente en función de y, utilizamos la relación definida por la función inversa:
\[ x=\sqrt[3]{y} \]
Sustituyendo esta expresión en la fórmula anterior, resulta
\[ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3(\sqrt[3]{y})^2} \]
Por tanto,
\[ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3y^{2/3}} \]
o, de forma equivalente,
\[ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3\sqrt[3]{y^2}} \]
Nota. También es posible comprobar el resultado derivando directamente la función inversa. Como $$ x=\sqrt[3]{y}=y^{1/3} $$ se tiene $$ (f^{-1})'(y)=D[y^{1/3}] $$ $$ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3}y^{(1/3-1)} $$ $$ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3}y^{(1-3)/3} $$ $$ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3}y^{-2/3} $$ $$ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3y^{2/3}} $$ $$ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3\sqrt[3]{y^2}} $$ Como era de esperar, se obtiene exactamente el mismo resultado.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la función
$$ y=f(x)=x^2 $$
Esta función es estrictamente creciente para x>0.
¿Por qué? Para cualesquiera dos valores positivos x1 y x2, se cumple la implicación $$ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) $$
Como la función es inyectiva en el intervalo x>0, existe una función inversa asociada.
La función inversa es
$$ x=f^{-1}(y)=\sqrt{y} $$
¿Cómo se obtiene la función inversa? Partimos de la ecuación $$ y=x^2 $$ y tomamos la raíz cuadrada en ambos miembros: $$ \sqrt{y}=\sqrt{x^2} $$ $$ \sqrt{y}=x $$ Como hemos restringido el dominio a x>0, la función inversa queda definida por $$ x=f^{-1}(y)=\sqrt{y} $$ Por ejemplo, si x=3, entonces $$ y=f(x)=3^2=9 $$ y la función inversa devuelve $$ x=f^{-1}(9)=\sqrt{9}=3 $$
La derivada de la función original es
$$ D[f(x)]=D[x^2]=2x $$
Por consiguiente, la derivada de la función inversa es
$$ D[f^{-1}(y)]=D[\sqrt{y}]=\frac{1}{2\sqrt{y}} $$
El mismo resultado puede obtenerse mediante la fórmula de la derivada de la función inversa:
$$ D f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$
Como \(x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}\),
$$ D f^{-1}(y)=\frac{1}{2x}=\frac{1}{2\sqrt{y}} $$
Ambos métodos conducen exactamente al mismo resultado.
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
La fórmula de derivación de la función inversa permite obtener de forma sencilla las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, como el arcoseno, el arcocoseno y la arcotangente. Veamos paso a paso cómo se deduce la derivada del arcoseno.
Derivada de la función arcoseno
La función arcoseno está definida para valores de $ x \in [-1,1] $.
$$ y = \arcsin x $$
Por definición, esta igualdad equivale a la siguiente relación inversa:
$$ x = \sin y $$
donde la variable $ y $ pertenece al intervalo
$$ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $$
Para hallar la derivada de la función arcoseno respecto a $ x $, aplicamos la fórmula de derivación de la función inversa:
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = \frac{1}{\frac{ d \ \sin y }{dy}} $$
Como la derivada del seno es
$$ \frac{ d \ \sin y }{dy} = \cos y $$
obtenemos inmediatamente
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = \frac{1}{\cos y} $$
Sin embargo, esta expresión todavía depende de la variable $ y $. Para expresar el resultado únicamente en función de $ x $, debemos eliminar dicha variable.
Nota. A partir de la identidad trigonométrica pitagórica, $$ \cos^2 y + \sin^2 y = 1 $$ se obtiene $$ \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y} $$ Como \( y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \), el coseno nunca es negativo en ese intervalo. Por esta razón, debe tomarse la raíz cuadrada positiva.
Sustituyendo esta expresión en la derivada, resulta
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} $$
Además, como $ x = \sin y $, podemos reemplazar $ \sin y $ por $ x $:
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
Por lo tanto, la derivada de la función arcoseno es
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
Otras funciones trigonométricas inversas
El mismo razonamiento puede aplicarse a las demás funciones trigonométricas inversas. Los resultados más importantes son los siguientes:
\[ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
\[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} \]
\[ \frac{d}{dx}(\operatorname{arccot} x) = -\frac{1}{1+x^2} \]
Estas fórmulas aparecen con frecuencia en cálculo diferencial y resultan especialmente útiles cuando se trabaja con funciones compuestas, integrales y problemas de modelización matemática.
Demostración
Sea
$$ x=f^{-1}(y) $$
Por definición, la derivada de la función inversa es el límite de su cociente incremental:
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y)}{h} $$
Definimos
$$ \Delta x=f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y) $$
Entonces
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{h} $$
Por otra parte,
$$ h=f(x+\Delta x)-f(x) $$
Sustituyendo esta igualdad en la expresión anterior, obtenemos
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{f(x+\Delta x)-f(x)} $$
Reescribiendo el cociente, resulta
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}} $$
Cuando h tiende a cero, Δx también tiende a cero, ya que
$$ \Delta x=f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y) $$
Por tanto, podemos escribir
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}} $$
El denominador es precisamente el cociente incremental de f en el punto x, cuyo límite es f'(x).
En consecuencia,
$$ D[f^{-1}(y)] = \frac{1}{f'(x)} $$
Queda así demostrada la fórmula de la derivada de la función inversa.
Demostración alternativa
Consideremos la función
$$ y=f(x) $$
y su función inversa
$$ x=f^{-1}(y) $$
Derivamos ambos miembros con respecto a x:
$$ D[x]=D[f^{-1}(y)] $$
Como
$$ D[x]=1 $$
obtenemos
$$ 1=D[f^{-1}(y)] $$
El segundo miembro contiene una función compuesta. Aplicando la regla de la cadena, se tiene
$$ D[f^{-1}(y)]=(f^{-1})'(y)\cdot y' $$
Por tanto,
$$ 1=(f^{-1})'(y)\cdot y' $$
Y como
$$ y'=f'(x) $$
se deduce que
$$ 1=(f^{-1})'(y)\cdot f'(x) $$
Despejando \((f^{-1})'(y)\), obtenemos
$$ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)} $$
Corolario
Si f'(x0)=0, entonces la función inversa no es derivable en el punto correspondiente y0=f(x0), siempre que f siga siendo inyectiva en un entorno de x0.
$$ f'(x_0)=0 \Rightarrow (f^{-1})'(y_0) \text{ no existe} $$
Desde el punto de vista geométrico, una tangente horizontal en la gráfica de f se transforma en una tangente vertical en la gráfica de la función inversa.
De forma recíproca, si la gráfica de f presenta una tangente vertical en x0, la gráfica de la función inversa tendrá una tangente horizontal en y0.
$$ f'(x_0) \text{ no existe y la tangente es vertical} \Rightarrow (f^{-1})'(y_0)=0 $$
En otras palabras, al invertir una función se intercambian las tangentes horizontales y las verticales.
