Fórmulas del Ángulo Doble en Trigonometría
- En trigonometría, las fórmulas del ángulo doble se expresan de la siguiente manera:
- Fórmula del ángulo doble para el seno$$ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $$
- Fórmula del ángulo doble para el coseno $$ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = \begin{cases} 1 - 2 \sin^2 a \\ \\ 2 \cos^2(a)-1 \end{cases} $$
- Fórmula del ángulo doble para la tangente$$ \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} $$
A partir de la fórmula del coseno del ángulo doble, se pueden deducir dos identidades trigonométricas útiles:
$$ \sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2} $$
$$ \cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} $$
Analicemos ahora algunos ejemplos y las demostraciones correspondientes de estas fórmulas.
Fórmula del Ángulo Doble para el Seno
La fórmula del ángulo doble para el seno es: $$ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $$
Esto implica que el seno del doble de un ángulo no es simplemente el doble del seno del ángulo:
$$ \sin 2a \ne 2 \sin a $$
Ejemplo
El seno de 30° (o π/6 radianes) es:
$$ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $$
El seno del doble de ese ángulo, es decir de 60°, es:
$$ \sin (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Podemos verificar este resultado aplicando la fórmula del ángulo doble para el seno en 30°:
$$ \sin (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Nota: Duplicar directamente el valor del seno de 30° da un resultado completamente distinto: $$ 2 \sin \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$
Demostración
El seno del doble de un ángulo:
$$ \sin 2a $$
puede expresarse como:
$$ \sin 2a = \sin (a + a) $$
Aplicando la fórmula de adición para el seno, se obtiene:
$$ \sin 2a = \sin a \cos a + \sin a \cos a $$
Lo cual conduce directamente a la fórmula que queríamos demostrar:
$$ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $$
Fórmula del Ángulo Doble para el Coseno
La fórmula del ángulo doble para el coseno es: $$ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = \begin{cases} 1 - 2 \sin^2 a \\ \\ 2 \cos^2(a) - 1 \end{cases} $$
Esto significa que el coseno del doble de un ángulo no es igual al doble del coseno del ángulo:
$$ \cos 2a \ne 2 \cos a $$
Ejemplo
El coseno de 30° (o π/6 radianes) es:
$$ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
El coseno del doble de ese ángulo (60°) es:
$$ \cos (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$
Esto puede comprobarse fácilmente utilizando la fórmula del ángulo doble para el coseno en 30°:
$$ \cos (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos^2 \frac{\pi}{6} - \sin^2 \frac{\pi}{6} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
Nota: Duplicar directamente el coseno de 30° da un valor completamente diferente: $$ 2 \cos \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$
Demostración
El coseno del doble de un ángulo:
$$ \cos 2a $$
puede escribirse como:
$$ \cos 2a = \cos (a + a) $$
Utilizando la fórmula de adición para el coseno, se obtiene:
$$ \cos 2a = \cos a \cos a - \sin a \sin a $$
Es decir:
$$ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a $$
A partir de aquí, podemos deducir otras identidades útiles. Por ejemplo, si escribimos \( \cos^2 a \) como \( 1 - \sin^2 a \), tenemos:
$$ \cos 2a = (1 - \sin^2 a) - \sin^2 a = 1 - 2 \sin^2 a $$
Despejando \( \sin^2 a \), se obtiene:
$$ \sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2} $$
Del mismo modo, si expresamos \( \sin^2 a \) como \( 1 - \cos^2 a \), llegamos a:
$$ \cos 2a = \cos^2 a - (1 - \cos^2 a) = -1 + 2 \cos^2 a $$
Y por tanto:
$$ \cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} $$
Fórmula del Ángulo Doble para la Tangente
La fórmula del ángulo doble para la tangente es: $$ \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} $$
Esto indica que la tangente del doble de un ángulo no equivale al doble de la tangente del ángulo:
$$ \tan 2a \ne 2 \tan a $$
Ejemplo
La tangente de 30° (o π/6 radianes) es:
$$ \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$
La tangente del doble de ese ángulo, es decir de 60°, es:
$$ \tan (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $$
Y se puede comprobar aplicando la fórmula del ángulo doble para la tangente en 30°:
$$ \tan (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \frac{2 \cdot \tan \frac{\pi}{6}}{1 - \tan^2 \frac{\pi}{6}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2} = $$ $$ = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3}{9}} = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}} = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \sqrt{3} $$
Nota: Duplicar directamente la tangente de 30° da un resultado distinto: $$ 2 \tan \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} $$
Demostración
La tangente del doble de un ángulo:
$$ \tan 2a $$
puede escribirse como:
$$ \tan 2a = \tan (a + a) $$
Aplicando la fórmula de adición para la tangente, se obtiene:
$$ \tan 2a = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} $$
$$ \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} $$
Y así sucesivamente.
