Fórmula de Suma para el Coseno

La fórmula que permite calcular el coseno de la suma de dos ángulos es: $$ \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$

Es incorrecto suponer que:

$$ \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha + \cos \beta $$

Ejemplo práctico

Supongamos que a = 30° y b = 60°.

$$ \cos a = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \cos b = \cos 60° = \frac{1}{2} $$

El coseno de la suma a + b no es igual a la suma de los cosenos de cada ángulo:

$$ \cos (a+b) \ne \cos(a) + \cos(b) $$

$$ \cos (30°+60°) \ne \cos(30°) + \cos(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$

Nota: El coseno de 30°+60° es, en realidad, el coseno de 90°, y sabemos que $$ \cos(90°) = 0. $$ Por lo tanto, es un error importante calcular el coseno de una suma como si fuera simplemente la suma de los cosenos individuales.

Veamos cómo aplicar correctamente la fórmula de suma para el coseno:

$$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $$

Sustituyendo los valores de a y b:

$$ \cos (30°+60°) = \cos 30° \cos 60° - \sin 30° \sin 60° $$

Sabemos que cos(30°) = √3/2 y cos(60°) = 1/2.

$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin 30° \sin 60° $$

$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \sin 30° \sin 60° $$

Los valores de los senos son: sin(30°) = 1/2 y sin(60°) = √3/2.

$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \cos (30°+60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} $$

$$ \cos (30°+60°) = 0 $$

Por tanto, el coseno de 30° + 60° es igual a cero, como esperábamos.

Demostración

Queremos demostrar la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos a y b:

$$ \cos(a+b) $$

Observamos que puede reescribirse como:

$$ \cos(a+b) = \cos[a - (-b)] $$

Esto nos permite aplicar la fórmula del coseno de la diferencia:

$$ \cos(a+b) = \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b) $$

Nota: La fórmula general del coseno de la diferencia es $$ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $$ ya tratada anteriormente junto con su demostración detallada.

Dado que el coseno es una función par, se tiene: $$ \cos(-b) = \cos b $$

Y como el seno es una función impar, se cumple que: $$ \sin(-b) = -\sin b $$

Sustituyendo estas igualdades:

$$ \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $$

Que es, justamente, la fórmula que queríamos demostrar.

Demostración concluida.