Fórmulas de prostaféresis
Las fórmulas de prostaféresis permiten transformar la suma o la diferencia de dos funciones trigonométricas en un producto de funciones trigonométricas.
Fórmulas de prostaféresis para el seno $$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \tfrac{a+b}{2} \cdot \cos \tfrac{a-b}{2} $$ $$ \sin a - \sin b = 2 \cdot \sin \tfrac{a-b}{2} \cdot \cos \tfrac{a+b}{2} $$ Fórmulas de prostaféresis para el coseno $$ \cos a + \cos b = 2 \cdot \cos \tfrac{a+b}{2} \cdot \cos \tfrac{a-b}{2} $$ $$ \cos a - \cos b = -2 \cdot \sin \tfrac{a+b}{2} \cdot \sin \tfrac{a-b}{2} $$
Un ejemplo práctico
Como ejemplo, consideremos la suma del seno de 60° (π/3) y el seno de 30° (π/6):
$$ \sin 60° + \sin 30° $$
Dado que $\sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin 30° = \tfrac{1}{2}$, el resultado directo es:
$$ \sin 60° + \sin 30° = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{1 + \sqrt{3}}{2} $$
Verifiquemos ahora que obtenemos el mismo valor aplicando las fórmulas de prostaféresis.
Usamos la fórmula de prostaféresis para la suma de senos, con a = 60° y b = 30°:
$$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \tfrac{a+b}{2} \cdot \cos \tfrac{a-b}{2} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \sin \tfrac{60° + 30°}{2} \cdot \cos \tfrac{60° - 30°}{2} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \sin \tfrac{90°}{2} \cdot \cos \tfrac{30°}{2} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \sin 45° \cdot \cos 15° $$
Como $\sin 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$:
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 15° $$
Y como $\cos 15° = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$:
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \sqrt{2} \cdot \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \tfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6} + \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{4} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \tfrac{\sqrt{12} + 2}{4} $$
Dividimos numerador y denominador por 2 para simplificar:
$$ \sin 60° + \sin 30° = \tfrac{\tfrac{1}{2}(\sqrt{12} + 2)}{\tfrac{1}{2}\cdot 4} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \tfrac{\tfrac{1}{2}\sqrt{12} + 1}{2} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \tfrac{\sqrt{3} + 1}{2} $$
El resultado final coincide exactamente con el obtenido en el cálculo inicial.
Demostración
Fórmula prostaférica de la suma de senos
Para demostrar la fórmula prostaférica de la suma de senos, partimos de las fórmulas de adición y sustracción del seno:
$$ \begin{cases} \sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \\ \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Sumamos ambas expresiones:
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $$
Y simplificamos:
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = 2 \cdot \sin \alpha \cos \beta $$
Definimos a=α+β, que representa la suma de los ángulos,
$$ \sin a + \sin (\alpha-\beta) = 2 \cdot \sin \alpha \cos \beta $$
y b=α-β, que representa la diferencia,
$$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \alpha \cos \beta $$
El ángulo α puede reescribirse como (a+b)/2:
$$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \cos \beta $$
Explicación. Si $$ a = \alpha + \beta $$ y $$ b = \alpha - \beta $$, entonces: $$ a+b = 2\alpha $$ $$ \frac{a+b}{2} = \alpha $$
De manera análoga, β puede expresarse como (a-b)/2:
$$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} $$
Explicación. Si $$ a = \alpha + \beta $$ y $$ b = \alpha - \beta $$, entonces: $$ 2\beta = a-b $$ $$ \beta = \frac{a-b}{2} $$
Así queda demostrada la fórmula prostaférica de la suma de senos.
Fórmula prostaférica de la diferencia de senos
Para demostrar la fórmula prostaférica de la diferencia de senos, utilizamos nuevamente las fórmulas de adición y sustracción del seno:
$$ \begin{cases} \sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \\ \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Restamos ahora las dos expresiones:
$$ \sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - ( \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta ) $$
Y simplificamos:
$$ \sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta $$
Definimos a=α+β como la suma,
$$ \sin a - \sin (\alpha-\beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta $$
y b=α-β como la diferencia,
$$ \sin a - \sin b = 2 \cos \alpha \sin \beta $$
El ángulo α puede expresarse como (a+b)/2:
$$ \sin a - \sin b = 2 \cdot \cos \frac{a+b}{2} \sin \beta $$
Explicación. Si $$ a = \alpha + \beta $$ y $$ b = \alpha - \beta $$, entonces: $$ a+b = 2\alpha $$ $$ \frac{a+b}{2} = \alpha $$
De igual modo, β puede reescribirse como (a-b)/2:
$$ \sin a - \sin b = 2 \cdot \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} $$
Explicación. Si $$ a = \alpha + \beta $$ y $$ b = \alpha - \beta $$, entonces: $$ 2\beta = a-b $$ $$ \beta = \frac{a-b}{2} $$
Con esto queda demostrada la fórmula prostaférica de la diferencia de senos.
Fórmula prostaférica de la suma de cosenos
Para demostrar la fórmula prostaférica de la suma de cosenos, partimos de las fórmulas de adición y sustracción del coseno:
$$ \begin{cases} \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \\ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Al sumar ambas expresiones obtenemos:
$$ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) = 2 \cdot \cos \alpha \cos \beta $$
Definimos a=α+β como la suma de los ángulos,
$$ \cos a + \cos (\alpha-\beta) = 2 \cdot \cos \alpha \cos \beta $$
y b=α-β como la diferencia,
$$ \cos a + \cos b = 2 \cdot \cos \alpha \cos \beta $$
El ángulo α puede expresarse como (a+b)/2:
$$ \cos a + \cos b = 2 \cdot \cos \frac{a+b}{2} \cos \beta $$
Explicación. Si $$ a = \alpha + \beta $$ y $$ b = \alpha - \beta $$, entonces: $$ a+b = 2\alpha $$ $$ \frac{a+b}{2} = \alpha $$
De manera análoga, β puede reescribirse como (a-b)/2:
$$ \cos a + \cos b = 2 \cdot \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} $$
Explicación. Si $$ a = \alpha + \beta $$ y $$ b = \alpha - \beta $$, entonces: $$ 2\beta = a-b $$ $$ \beta = \frac{a-b}{2} $$
Queda así demostrada la fórmula prostaférica de la suma de cosenos.
Fórmula prostaférica de la diferencia de cosenos
Para demostrar la fórmula prostaférica de la diferencia de cosenos, volvemos a emplear las fórmulas de adición y sustracción del coseno:
$$ \begin{cases} \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \\ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{cases}$$
Al restar las dos expresiones obtenemos:
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = - 2 \cdot \sin \alpha \sin \beta $$
Definimos a=α+β como la suma,
$$ \cos a - \cos (\alpha-\beta) = - 2 \cdot \sin \alpha \sin \beta $$
y b=α-β como la diferencia,
$$ \cos a - \cos b = - 2 \cdot \sin \alpha \sin \beta $$
El ángulo α puede expresarse como (a+b)/2:
$$ \cos a - \cos b = - 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \sin \beta $$
Explicación. Si $$ a = \alpha + \beta $$ y $$ b = \alpha - \beta $$, entonces: $$ a+b = 2\alpha $$ $$ \frac{a+b}{2} = \alpha $$
Asimismo, β puede reescribirse como (a-b)/2:
$$ \cos a - \cos b = - 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} $$
Explicación. Si $$ a = \alpha + \beta $$ y $$ b = \alpha - \beta $$, entonces: $$ 2\beta = a-b $$ $$ \beta = \frac{a-b}{2} $$
Queda así demostrada la fórmula prostaférica de la diferencia de cosenos.
De manera similar se pueden deducir las demás fórmulas prostaféricas.
