Fórmulas paramétricas en trigonometría
En trigonometría, las fórmulas paramétricas permiten calcular el seno y el coseno de un ángulo α a partir de la tangente de la mitad de ese ángulo, α/2.
Fórmula paramétrica del seno: $$ \sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2} }{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{2} } $$
Fórmula paramétrica del coseno: $$ \cos \alpha = \frac{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2} }{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{2} } $$
De forma equivalente, sustituyendo $ \alpha \rightarrow 2\alpha $, las mismas relaciones pueden expresarse así: $$ \sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha }{1+ \tan^2 \alpha } $$ $$ \cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha }{1+ \tan^2 \alpha } $$
Si definimos el parámetro
$$ t = \tan \frac{ \alpha }{ 2 } $$
las expresiones anteriores se simplifican en esta forma paramétrica:
$$ \sin \alpha = \frac{2 \cdot t }{1+ t^2 } $$ $$ \cos \alpha = \frac{1 - t^2 }{1+ t^2 } $$
El significado no cambia en absoluto.
¿Por qué utilizar fórmulas paramétricas?
Cuando se conoce el valor de la tangente de α/2, estas fórmulas permiten obtener de manera directa el seno y el coseno del ángulo α.
Ejemplo práctico
Consideremos la tangente de 45° (π/4 radianes):
$$ \tan 45° = 1 $$
Con α/2=45°, calculemos el seno de α=90° aplicando la fórmula paramétrica del seno:
$$ \sin \alpha = \frac{2 \cdot \tan \frac{\alpha}{2} }{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{2} } $$
$$ \sin 90° = \frac{2 \cdot \tan 45° }{1+ \tan^2 45° } $$
Como tan 45° = 1
$$ \sin 90° = \frac{2 \cdot 1 }{1+ 1 } $$
$$ \sin 90° = \frac{2}{2} $$
$$ \sin 90° = 1 $$
Así obtenemos el valor del seno de 90° a partir de la tangente de 45°.
Ejemplo 2
Partiendo de nuevo de la tangente de 45° (π/4 radianes):
$$ \tan 45° = 1 $$
Ahora calculemos el coseno de α=90° utilizando la fórmula paramétrica del coseno con α/2=45°:
$$ \cos \alpha = \frac{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2} }{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{2} } $$
$$ \cos 90° = \frac{1 - \tan^2 45° }{1+ \tan^2 45° } $$
Como tan 45° = 1
$$ \cos 90° = \frac{1 - 1 }{1+ 1 } $$
$$ \cos 90° = \frac{0}{2} $$
$$ \cos 90° = 0 $$
De este modo, hemos calculado el coseno de 90° a partir de la tangente de 45°.
La demostración
Demostración de la fórmula paramétrica del seno
El seno de un ángulo a
$$ \sin a $$
puede expresarse en función de a/2 aplicando la fórmula del ángulo doble del seno:
$$ \sin a = 2 \cdot \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} $$
Aunque normalmente se omite, aquí mantenemos el denominador 1 para que los pasos posteriores resulten más claros.
$$ \sin a = \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} }{1} $$
De acuerdo con la identidad trigonométrica fundamental, la suma de los cuadrados del seno y el coseno es igual a 1: sin2(θ) + cos2(θ) = 1.
Usando esta identidad con el ángulo a/2, podemos reescribir el denominador:
$$ \sin a = \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} }{ \sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} } $$
Esta expresión es totalmente equivalente a la anterior.
Aplicando ahora la propiedad de las fracciones, dividimos numerador y denominador entre cos2(a/2):
$$ \sin a = \frac{ \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } }{ \frac { \sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } } $$
Al simplificar el coseno en el numerador obtenemos:
$$ \sin a = \frac{ \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} }{ \cos \frac{a}{2} } }{ \frac { \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } + 1 } $$
Con algunos pasos algebraicos adicionales, el denominador queda así:
$$ \sin a = \frac{ \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} }{ \cos \frac{a}{2} } }{ \frac { \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } + \frac { \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } } $$
$$ \sin a = \frac{ \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} }{ \cos \frac{a}{2} } }{ \frac { \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } + 1 } $$
Como la razón entre seno y coseno es la tangente, llegamos a:
$$ \sin a = \frac{ 2 \cdot \tan \frac{a}{2} }{ \tan^2 \frac{a}{2} + 1 } $$
Así queda demostrada la fórmula paramétrica del seno.
Demostración de la fórmula paramétrica del coseno
El coseno de un ángulo a
$$ \cos a $$
también puede reescribirse en función de a/2 mediante la fórmula del ángulo doble del coseno:
$$ \cos a = \cos^2 \frac{a}{2} - \sin^2 \frac{a}{2} $$
De nuevo, incluimos el denominador (1) para mayor claridad:
$$ \cos a = \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} - \sin^2 \frac{a}{2} }{1} $$
Aplicando la identidad trigonométrica fundamental, donde sin2 + cos2 = 1, el denominador puede escribirse como:
$$ \cos a = \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} - \sin^2 \frac{a}{2} }{ \sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} } $$
A continuación, dividimos numerador y denominador por cos2(a/2):
$$ \cos a = \frac{ \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} - \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } }{ \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } } $$
Simplificando cada parte obtenemos:
$$ \cos a = \frac{ \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } - \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } }{ \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } + \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } } $$
$$ \cos a = \frac{ 1 - \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } }{ \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } + 1 } $$
Como seno dividido por coseno corresponde a la tangente, llegamos a:
$$ \cos a = \frac{ 1 - \tan^2 \frac{a}{2} }{ \tan^2 \frac{a}{2} + 1 } $$
De esta manera hemos demostrado la fórmula paramétrica del coseno.
Y así sucesivamente.
