Segundo Teorema de los Triángulos Rectángulos
- En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto se puede calcular de la siguiente manera:
- multiplicando la tangente del ángulo opuesto por el otro cateto, $$ b = c \cdot \tan \alpha $$
- multiplicando la cotangente del ángulo adyacente por el otro cateto, $$ b = c \cdot \text{cotg} \ \beta $$
De forma análoga, el otro cateto (c) se obtiene multiplicando la tangente del ángulo opuesto por el cateto b:
$$ c = b \cdot \tan \beta $$
o bien, multiplicando la cotangente del ángulo adyacente por el cateto b:
$$ c = b \cdot \text{cotg} \ \alpha $$
Ejemplo Práctico
Veamos un ejemplo con un triángulo rectángulo.
La longitud de la hipotenusa es:
$$ a = \overline{AB} = 6.71 $$
Las longitudes de los catetos son:
$$ b = \overline{BC} = 3 $$
$$ c = \overline{AC} = 6 $$
Los ángulos del triángulo son:
$$ \alpha = 26.57^\circ $$
$$ \beta = 63.43^\circ $$
$$ \gamma = 90^\circ $$
Para calcular el cateto b, multiplicamos la tangente del ángulo opuesto (α) por el otro cateto (c):
$$ b = c \cdot \tan \alpha = 6 \cdot \tan (26.57^\circ) = 3 $$
Otra forma de hallar b es multiplicando la cotangente del ángulo adyacente (β) por el otro cateto (c):
$$ b = c \cdot \text{cotg} \ \beta = 6 \cdot \text{cotg} (63.43^\circ) = 3 $$
Para encontrar el cateto c, multiplicamos la tangente del ángulo opuesto (β) por el cateto b:
$$ c = b \cdot \tan \beta = 3 \cdot \tan (63.43^\circ) = 6 $$
De manera equivalente, podemos hallar c multiplicando la cotangente del ángulo adyacente (α) por el cateto b:
$$ c = b \cdot \text{cotg} \ \alpha = 3 \cdot \text{cotg} (26.57^\circ) = 6 $$
Demostración
Consideremos el triángulo rectángulo ABC, donde el ángulo recto es γ.
Dibujamos una circunferencia unitaria con centro en el vértice A del triángulo.
Sea D el punto donde la hipotenusa (AB) corta la circunferencia unitaria.
Proyectamos el punto D sobre el cateto AC para determinar el punto E.
Así se forma otro triángulo rectángulo, ADE, inscrito en la circunferencia unitaria.
Los triángulos ABC y ADE son semejantes porque ambos son rectángulos y comparten el ángulo agudo α.
Podemos establecer entonces la siguiente proporción:
$$ \overline{BC} : \overline{AC} = \overline{DE} : \overline{AE} $$
Escribiéndolo como fracción:
$$ \frac{ \overline{BC} }{ \overline{AC} } = \frac{ \overline{DE} }{ \overline{AE} } $$
Como BC es el cateto b y AC es el cateto c, tenemos:
$$ \frac{ b }{ c } = \frac{ \overline{DE} }{ \overline{AE} } $$
El segmento DE representa el seno del ángulo α:
Por tanto, podemos sustituir DE por sen α:
$$ \frac{ b }{ c } = \frac{ \sin \alpha }{ \overline{AE} } $$
El segmento AE representa el coseno del ángulo α:
Así, sustituimos AE por cos α:
$$ \frac{ b }{ c } = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } $$
Despejando b:
$$ b = c \cdot \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } $$
De acuerdo con el segundo teorema fundamental de la trigonometría, la razón entre el seno y el coseno es la tangente, es decir, sin(α) / cos(α) = tan(α).
$$ b = c \cdot \tan \alpha $$
Por tanto, el cateto b es igual al producto de la tangente del ángulo opuesto (α) y el otro cateto (c).
Dado que la cotangente es el recíproco de la tangente (cotg = 1 / tan), también podemos expresar la tangente como 1 / cotg:
$$ b = c \cdot \frac{1}{ \text{cotg} \ \alpha } $$
Despejando c, obtenemos:
$$ c = b \cdot \text{cotg} \ \alpha $$
Así, el cateto c se obtiene multiplicando la cotangente del ángulo adyacente (α) por el otro cateto.
Con esto, queda demostrada nuestra proposición: en un triángulo rectángulo, un cateto es igual tanto al producto de la tangente del ángulo opuesto como al producto de la cotangente del ángulo adyacente por el otro cateto.
Y así sucesivamente.
