Circuncentro
El circuncentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las bisectrices perpendiculares de sus lados. Estas son rectas que son perpendiculares a los lados del triángulo y pasan por sus puntos medios.
Las rectas perpendiculares que atraviesan los puntos medios de cada lado del triángulo se conocen también como mediatrices.
El circuncentro es, además, el centro de la circunferencia circunscrita, denominada circunferencia circunscrita, que pasa por los tres vértices del triángulo.
Centro de la circunferencia circunscrita. El circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Por tanto, el circuncentro está a la misma distancia de los tres vértices. Esta distancia se denomina radio de la circunferencia circunscrita (r).
Cómo hallar el circuncentro
Consideremos un triángulo ABC.
El triángulo tiene tres vértices: A, B y C, y tres lados: AB, BC y AC.
Identificamos el punto medio de cada lado del triángulo: MAB, MBC y MAC.
¿Qué es el punto medio? El punto medio de un segmento es aquel que lo divide en dos partes iguales.
Para cada lado del triángulo, se traza la mediatriz, que pasa por el punto medio y es perpendicular al lado.
Cada mediatriz forma un ángulo recto (90°) con el lado correspondiente del triángulo.
El punto donde se cortan las tres mediatrices es el circuncentro.
A continuación, se traza un segmento r desde el circuncentro hasta uno de los vértices del triángulo, por ejemplo, el vértice B.
Este segmento r es el radio de la circunferencia circunscrita, que pasa por los tres vértices del triángulo.
Demostración
La demostración de la existencia del circuncentro es bastante sencilla.
Consideremos un triángulo cualquiera ABC.
Por tres puntos distintos que no estén alineados pasa siempre una única circunferencia.
Por lo tanto, cualquier triángulo puede inscribirse en una circunferencia, ya que existe una única circunferencia que pasa por sus tres vértices, y cuyo centro es el circuncentro (O).
Por construcción, el lado AB del triángulo es una cuerda de dicha circunferencia.
Como la mediatriz de una cuerda pasa siempre por el centro de la circunferencia, se deduce que la mediatriz del segmento AB pasa por el centro O de la circunferencia, es decir, por el circuncentro.
La misma razón es válida para los otros lados BC y AC, ya que también son cuerdas de la circunferencia.
Al trazar las mediatrices desde los puntos medios de estos lados, éstas también pasan por el circuncentro O.
Esto demuestra que el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo.
Observaciones
Algunas observaciones y propiedades del circuncentro:
- La posición del circuncentro depende del tipo de triángulo
- En un triángulo acutángulo, el circuncentro se encuentra en el interior del triángulo.
- En un triángulo obtusángulo, el circuncentro se encuentra fuera del triángulo.
- En un triángulo rectángulo, el circuncentro está situado sobre la hipotenusa. En este caso, el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa (MBC).
- En un triángulo acutángulo, el circuncentro se encuentra en el interior del triángulo.
- El circuncentro siempre pertenece a la recta de Euler
La recta de Euler es la línea recta que pasa por el baricentro (B), el circuncentro (E) y el ortocentro (O) de un triángulo.
Y así sucesivamente.
