Geometría
La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las formas, tanto en el plano como en el espacio, y las relaciones que se establecen entre ellas.
El término "geometría" proviene del latín "geometrĭa" y del griego antiguo "γεωμετρία", que significa literalmente "medición de la tierra".
Nota. La palabra combina "Geo" (γῆ), que significa "tierra", y "metria", del griego "medición". Por tanto, la geometría es, en esencia, el estudio de las medidas y de las relaciones entre las formas tanto en la tierra como en el espacio.
Historia de la geometría
Los orígenes de la geometría se remontan a las civilizaciones antiguas, que la empleaban para resolver problemas prácticos. Por ejemplo, los egipcios la utilizaban para volver a trazar los límites de los campos tras las crecidas del Nilo.
Nota. Las inundaciones anuales del Nilo alteraban la extensión y los límites de los terrenos agrícolas. Por este motivo, era necesario volver a delimitarlos con técnicas de medición precisas, también con fines fiscales. De ahí el término "geometría", que literalmente significa "medición de la tierra".
Los babilonios, por su parte, la empleaban sobre todo para la observación astronómica, mientras que los fenicios la utilizaban en la navegación.
En sus comienzos, la geometría se desarrollaba de forma inductiva: a partir de patrones observados en la naturaleza, se formulaban conjeturas, es decir, afirmaciones que parecían válidas de manera general pero que carecían de una demostración formal.
Hacia el siglo VI a. C., los griegos adoptaron un enfoque más teórico y abstracto, alejándose del mero uso práctico. Comenzaron a concebir las figuras geométricas como modelos ideales de la realidad, susceptibles de ser analizados mediante la lógica.
Su propósito era sistematizar y perfeccionar el conocimiento geométrico a través del razonamiento lógico, la deducción y la demostración rigurosa.
Este cambio de perspectiva marcó el inicio de un enfoque deductivo, o axiomático, que se convirtió en el fundamento de la geometría racional.
El uso de instrumentos como la regla sin graduación y el compás se extendió, dando lugar a nuevas técnicas de demostración. La geometría griega pasó a ser un pilar esencial en el desarrollo de diversas ciencias, como la geografía, la astronomía, la óptica o la mecánica, así como de numerosas aplicaciones prácticas, como la navegación.
Filósofos y matemáticos griegos como Tales, Pitágoras, Platón, Aristóteles o Euclides realizaron aportes fundamentales en este campo.
En particular, la figura de Euclides, matemático griego del siglo III a. C., destaca por haber recopilado todo el conocimiento geométrico de su época en una obra titulada "Los Elementos".
Este tratado, de una precisión y profundidad notables, fue durante siglos el texto de referencia para el estudio de la geometría y de las matemáticas. A día de hoy, sus contenidos siguen presentes en los programas educativos de geometría escolar.
Nota. La obra de Euclides es también uno de los primeros ejemplos de sistema axiomático en geometría, ya que se basa en principios aceptados como verdaderos sin necesidad de demostración (axiomas), a partir de los cuales se derivan el resto de los teoremas geométricos.
Geometría racional o euclidiana
La geometría racional, también conocida como geometría euclidiana, es un enfoque geométrico basado en un conjunto de reglas claramente definidas.
Dichas reglas, que incluyen definiciones, entidades primitivas, postulados y teoremas, fueron sistematizadas por primera vez por Euclides en el siglo III a. C.
Por ello, esta disciplina suele denominarse "geometría euclidiana".
Nota. En esencia, la geometría racional constituye un estudio estructurado que nos permite comprender la naturaleza de las formas y las dimensiones del mundo que nos rodea, a partir de los principios fundamentales establecidos por Euclides.
En el primer libro de "Los Elementos", Euclides sienta las bases de su obra a través de 23 definiciones en las que explica conceptos como el punto, la línea y la superficie.
Asimismo, introduce 5 postulados y 5 "nociones comunes", que recogen principios elementales.
Las "nociones comunes" son las siguientes:
- Si dos cosas son iguales a una tercera, entonces son iguales entre sí.
- Si se suma la misma cantidad a dos cosas iguales, los resultados serán iguales.
- Si se resta la misma cantidad a dos cosas iguales, las diferencias serán iguales.
- Si dos cosas coinciden con una misma, son iguales a ella.
- El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
Los cinco postulados de Euclides son los siguientes:
- Es posible trazar una línea recta que una dos puntos cualesquiera.
- Un segmento de línea recta puede prolongarse indefinidamente.
- Con un segmento como radio y uno de sus extremos como centro, se puede trazar un círculo.
- Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
- Si al trazar dos líneas que cortan a una tercera, la suma de los ángulos interiores en un mismo lado es menor que dos ángulos rectos, esas dos líneas se cortarán en ese lado si se prolongan lo suficiente.
Geometría analítica
La geometría analítica conecta la geometría con el álgebra mediante el uso de sistemas de coordenadas para representar puntos y figuras en el espacio.
Permite describir las figuras geométricas mediante ecuaciones, y facilita el cálculo de distancias, ángulos e intersecciones.
Este enfoque transforma problemas geométricos complejos en problemas algebraicos que pueden resolverse, integrando de manera innovadora dos ramas fundamentales de las matemáticas.
