Superficies equivalentes

Dos superficies A y B se consideran superficies equivalentes cuando poseen la misma extensión. $$ A \doteq B $$

En la geometría del plano euclidiano, esto significa que dos superficies son equivalentes si tienen la misma área.

$$ Área(A) = Área(B) $$

Esta es la forma de equivalencia más habitual e intuitiva.

Por ejemplo, un cuadrado y un triángulo son superficies equivalentes si sus áreas coinciden, aunque sus formas sean distintas.

Todas las superficies que comparten la misma extensión (área) pertenecen a la misma clase de equivalencia.

Propiedades de las superficies equivalentes

La equivalencia entre superficies constituye una relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad reflexiva
  Toda superficie es equivalente a sí misma. $$ A \doteq A $$

  

• Propiedad simétrica
  Si una superficie A es equivalente a una superficie B, entonces B también es equivalente a A. $$ A \doteq B \Leftrightarrow B \doteq A $$

  

• Propiedad transitiva
  Si una superficie A es equivalente a una superficie B, y B es equivalente a una superficie C, entonces A también es equivalente a C. $$ A \doteq B \ , \ B \doteq C \Longrightarrow A \doteq C $$

  

Estos son conceptos fundamentales en matemáticas que van más allá de la geometría elemental, pues se aplican a todas las relaciones de equivalencia.

Observaciones adicionales

Algunas notas y observaciones adicionales sobre las superficies equivalentes:

• Postulado de De Zolt
  Una superficie no puede ser equivalente a una parte de sí misma.

  Ejemplo. Si la superficie S se divide en dos partes, A y B, el área de S es la suma de las áreas de A y B. Por tanto, S no puede ser equivalente ni a A ni a B.
  

• Dos superficies congruentes son siempre equivalentes, pero no necesariamente a la inversa
  Por ejemplo, dos triángulos congruentes tienen lados y ángulos iguales, dispuestos en el mismo orden. Por tanto, sus áreas coinciden y son superficies equivalentes.
  
  En cambio, un triángulo ABC y un cuadrado ABCD con la misma área son equivalentes, pero no congruentes, ya que no es posible superponerlos punto por punto mediante un movimiento rígido. Tienen lados y ángulos distintos.
  
• Principio de equidescomposición
  Dos figuras equidescomponibles, es decir, que pueden descomponerse en el mismo número de partes congruentes, se consideran equivalentes.
  
• Si partimos de dos figuras congruentes y luego añadimos o eliminamos partes congruentes, las figuras resultantes seguirán siendo equivalentes.
• Si consideramos dos pares de superficies equivalentes $$ S_1 \doteq S_2 $$ $$ S_3 \doteq S_4 $$ y las sumamos, la suma de las superficies también será equivalente: $$ S_1 + S_3 \doteq S_2 + S_4 $$

  Ejemplo
  

• Si consideramos dos pares de superficies equivalentes $$ S_1 \doteq S_2 $$ $$ S_3 \doteq S_4 $$ y restamos las superficies, la diferencia resultante también será equivalente: $$ S_1 - S_3 \doteq S_2 - S_4 $$

  Ejemplo
  

Y así sucesivamente.