Fórmulas del ángulo mitad
Las fórmulas del ángulo mitad permiten calcular los valores de las funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo, α/2, a partir del ángulo completo, α. $$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} $$ $$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} $$ $$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{ \sqrt{1+\cos \alpha} } = \begin{cases} \frac{ \sin \alpha }{ 1 + \cos \alpha } \\ \\ \frac{ 1 - \cos \alpha }{ \sin \alpha } \end{cases} $$ $$ \cot \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{ \sqrt{1-\cos \alpha} } $$
¿Cómo se decide el signo?
En las fórmulas del ángulo mitad aparece el signo más-menos (±), pero nunca se toman ambos a la vez.
El signo correcto depende del valor real de la función trigonométrica en el ángulo α/2.
Ejemplo: Si el seno de α/2 es negativo porque el lado final se encuentra en el tercer o cuarto cuadrante, en la fórmula también se tomará negativo. En cambio, si está en el primero o segundo cuadrante, el seno será positivo. La misma regla se aplica al coseno, la tangente y la cotangente: siempre hay que atender al signo que adopta la función en el ángulo α/2.
Un ejemplo práctico
Consideremos el ángulo α = 120°:
$$ \alpha = 120° = \frac{2 \pi}{3} \ rad $$
El coseno de α = 120° es:
$$ \cos 120° = - \frac{1}{2} $$
A partir de este valor podemos calcular el seno, coseno y tangente de la mitad del ángulo, α/2 = 60°, usando las fórmulas correspondientes.
Primero, apliquemos la fórmula del coseno de ángulo mitad:
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $$
Como &cos(120°) = -1/2,
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + (- \frac{1}{2})}{2}} $$
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2-1}{2}}{2}} $$
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{2}} $$
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} $$
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} $$
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{1}{2} $$
Se elige el signo positivo porque el coseno de α/2 = 60° corresponde al primer cuadrante y allí es positivo.
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} $$
El resultado es correcto: el coseno de 60° es efectivamente +1/2.
Ahora aplicamos la fórmula del seno de ángulo mitad para α/2 = 60°:
$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} $$
Como &cos(120°) = -1/2,
$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - (-\frac{1}{2})}{2}} $$
$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2+1}{2}}{2}} $$
$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{2}} $$
$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} $$
$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} $$
$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Se toma el signo positivo porque el seno de α/2 = 60° es positivo en el primer cuadrante.
$$ \sin \frac{\alpha}{2} = + \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Este resultado también es correcto: el seno de 60° es efectivamente √3/2.
Por último, aplicamos la fórmula de la tangente de ángulo mitad para α/2 = 60°:
$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{ \sqrt{1+\cos \alpha} } $$
Como &cos(120°) = -1/2,
$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1-(-\frac{1}{2}) }}{ \sqrt{1 + (-\frac{1}{2}) } } $$
$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{\frac{2+1}{2}}}{ \sqrt{\frac{2-1}{2}} } $$
$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{ \sqrt{\frac{1}{2}} } $$
$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{1}} $$
$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{3} $$
Se escoge el signo positivo porque la tangente de α/2 = 60° es positiva en el primer cuadrante.
$$ \tan \frac{\alpha}{2} = + \sqrt{3} $$
El resultado es correcto: la tangente de 60° es, en efecto, √3.
Así, a partir del coseno de su ángulo doble, α = 120°, hemos obtenido los valores de seno, coseno y tangente de α/2 = 60°.
La demostración
Fórmula del ángulo mitad para el coseno
El coseno de un ángulo α puede escribirse como:
$$ \cos \alpha = \cos\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) $$
Aplicando la fórmula del ángulo doble del coseno:
$$ \cos \alpha = 2 \cos^2 \left(\tfrac{\alpha}{2}\right) - 1 $$
Despejamos &cos(α/2):
$$ \cos^2 \left(\tfrac{\alpha}{2}\right) = \tfrac{1 + \cos \alpha}{2} $$
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados:
$$ \sqrt{\cos^2 \left(\tfrac{\alpha}{2}\right)} = \sqrt{\tfrac{1 + \cos \alpha}{2}} $$
De este modo obtenemos la fórmula del coseno de ángulo mitad:
$$ \cos \left(\tfrac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\tfrac{1 + \cos \alpha}{2}} $$
Fórmula del ángulo mitad para el seno
De manera análoga, podemos expresar el coseno como:
$$ \cos \alpha = \cos\left(2 \cdot \tfrac{\alpha}{2}\right) $$
Usando la fórmula del ángulo doble del coseno en función del seno:
$$ \cos \alpha = 1 - 2 \sin^2 \left(\tfrac{\alpha}{2}\right) $$
Despejamos &sin(α/2):
$$ - \sin^2 \left(\tfrac{\alpha}{2}\right) = \tfrac{\cos \alpha - 1}{2} $$
Multiplicamos por -1:
$$ \sin^2 \left(\tfrac{\alpha}{2}\right) = \tfrac{1 - \cos \alpha}{2} $$
Extrayendo la raíz cuadrada:
$$ \sin \left(\tfrac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\tfrac{1 - \cos \alpha}{2}} $$
Fórmula del ángulo mitad para la tangente
Recordemos que la tangente de un ángulo α es el cociente entre su seno y su coseno:
$$ \tan \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$
Para el ángulo α/2 resulta:
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{\sin (\tfrac{\alpha}{2})}{\cos (\tfrac{\alpha}{2})} $$
Sustituyendo las expresiones de seno y coseno de ángulo mitad:
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{\sqrt{\tfrac{1 - \cos \alpha}{2}}}{\sqrt{\tfrac{1 + \cos \alpha}{2}}} $$
Al simplificar:
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\tfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} $$
Fórmula del ángulo mitad para la cotangente
La cotangente es el recíproco de la tangente:
$$ \cot \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{1}{\tan \tfrac{\alpha}{2}} $$
Sustituyendo la fórmula de la tangente:
$$ \cot \tfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\tfrac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} $$
Otras formas de la tangente de ángulo mitad
La tangente también puede expresarse como:
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \begin{cases} \tfrac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \\ \\ \tfrac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \end{cases} $$
Veamos cómo se deducen estas dos formas.
Primera fórmula
Partimos de:
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{\sin (\tfrac{\alpha}{2})}{\cos (\tfrac{\alpha}{2})} $$
Multiplicamos numerador y denominador por 2&cos(α/2):
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{2 \sin (\tfrac{\alpha}{2}) \cos (\tfrac{\alpha}{2})}{2 \cos^2 (\tfrac{\alpha}{2})} $$
Aplicamos la fórmula del ángulo doble del seno:
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{\sin \alpha}{2 \cos^2 (\tfrac{\alpha}{2})} $$
Nota: Según la fórmula del ángulo doble, $$ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $$. Tomando a = α/2 se obtiene $$ \sin \alpha = 2 \sin (\tfrac{\alpha}{2}) \cos (\tfrac{\alpha}{2}) $$.
Reescribiendo el denominador:
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{\sin \alpha}{(1 + \cos \alpha)} $$
Segunda fórmula
De nuevo partimos de:
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{\sin (\tfrac{\alpha}{2})}{\cos (\tfrac{\alpha}{2})} $$
Multiplicamos numerador y denominador por 2&sin(α/2):
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{2 \sin^2 (\tfrac{\alpha}{2})}{\sin \alpha} $$
Nota: Con la misma fórmula de ángulo doble, para a = α/2 se cumple $$ \sin \alpha = 2 \sin (\tfrac{\alpha}{2}) \cos (\tfrac{\alpha}{2}) $$.
Sustituyendo la expresión del seno de ángulo mitad:
$$ \tan \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $$
Y así obtenemos la segunda forma de la tangente de ángulo mitad.
