Fórmulas de suma y resta en trigonometría

En trigonometría, las fórmulas que rigen la suma y la resta de funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) son las siguientes:

Seno

$$ \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $$ $$ \sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b $$

Consulta las demostraciones de la fórmula del seno de la suma y de la fórmula del seno de la resta.

Coseno

$$ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $$ $$ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $$

Consulta las demostraciones de la fórmula del coseno de la suma y de la fórmula del coseno de la resta.

Tangente

$$ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} $$ $$ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} $$

Consulta las demostraciones de la fórmula de la suma de tangentes y de la fórmula de la resta de tangentes.

Un ejemplo práctico

Tomemos como ejemplo dos ángulos: a = 30° y b = 60°

$$ \sin a = \sin 30° = \frac{1}{2} $$

$$ \sin b = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

El valor de \( \sin(a + b) \) no se obtiene sumando simplemente los senos de los dos ángulos:

$$ \sin (a + b) \ne \sin a + \sin b $$

$$ \sin (30° + 60°) \ne \sin(30°) + \sin(60°) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$

Nota: En realidad, \( \sin(30° + 60°) \) equivale a \( \sin 90° \), cuyo valor exacto es 1. Es un error frecuente suponer que \( \sin(a + b) = \sin a + \sin b \).

Para calcular correctamente \( \sin(a + b) \), debemos aplicar la fórmula de la suma de senos:

$$ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $$

Sustituyendo a = 30° y b = 60°, se obtiene:

$$ \sin(30° + 60°) = \sin 30° \cos 60° + \cos 30° \sin 60° $$

Ya sabemos que \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \) y \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

$$ \sin(30° + 60°) = \frac{1}{2} \cdot \cos 60° + \cos 30° \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Los valores correspondientes del coseno son: \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) y \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \).

$$ \sin(30° + 60°) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \sin(30° + 60°) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} $$

$$ \sin(30° + 60°) = \frac{4}{4} $$

$$ \sin(30° + 60°) = 1 $$

Por tanto, el valor de \( \sin(30° + 60°) \) es 1, tal como se esperaba.

Así es como se aplica correctamente la fórmula.