Fórmula de la tangente de una resta

La fórmula que permite calcular la tangente de la diferencia entre dos ángulos es la siguiente: $$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} $$

Esta identidad es válida siempre que la diferencia a − b no sea igual a ±90° + k·180°, con k entero.

$$ \alpha - \beta \ne \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \ \ \ \ \ k \in \mathbb{Z} $$

Esto se debe a que en dichos valores la función tangente no está definida.

Un ejemplo práctico

Tomemos como ejemplo dos ángulos: a = 60° y b = 30°.

$$ \tan a = \tan 60° = \sqrt{3} $$

$$ \tan b = \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

La tangente de la diferencia a − b corresponde a la tangente de 30°:

$$ \tan (a - b) = \tan(60° - 30°) = \tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Nota: La tangente de la diferencia entre dos ángulos no equivale, en general, a la diferencia de sus tangentes. $$ \tan(60° - 30°) = \tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} \ne \tan(60°) - \tan(30°) = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

Para obtener el valor correcto, debemos utilizar la fórmula de la resta de tangentes:

$$ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} $$

En nuestro ejemplo, con a = 60° y b = 30°:

$$ \tan(60° - 30°) = \frac{\tan 60° - \tan 30°}{1 + \tan 60° \cdot \tan 30°} $$

$$ \tan(60° - 30°) = \frac{ \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} }{ 1 + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} } $$

$$ \tan(60° - 30°) = \frac{ \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} }{ 1 + \frac{3}{3} } $$

$$ \tan(60° - 30°) = \frac{ \frac{2\sqrt{3}}{3} }{ 2 } $$

$$ \tan(60° - 30°) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ \tan(60° - 30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

El resultado coincide con lo esperado:

$$ \tan(60° - 30°) = \tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Demostración

Para justificar esta fórmula, partimos de la expresión:

$$ \tan(\alpha - \beta) $$

y reescribimos la resta como una suma:

$$ \tan(\alpha - \beta) = \tan[\alpha + (-\beta)] $$

A continuación, aplicamos la fórmula de adición de tangentes:

$$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{ \tan \alpha + \tan(-\beta) }{ 1 - \tan \alpha \cdot \tan(-\beta) } $$

Como la tangente es una función impar, se cumple que \( \tan(-\beta) = -\tan(\beta) \).

$$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{ 1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta } $$

Con esto queda completamente demostrada la fórmula inicial.

Así concluye la demostración.