Fórmula de la tangente de una suma

La fórmula que nos permite calcular la tangente de la suma de dos ángulos es: $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta }{1- \tan \alpha \tan \beta } $$

Conviene recordar que la tangente de la suma de dos ángulos no equivale, en general, a la suma de sus tangentes individuales:

$$ \tan(\alpha + \beta) \ne \tan \alpha + \tan \beta $$

Nota: Esta fórmula es válida únicamente dentro del dominio de la función tangente. Por tanto, la suma α+β no debe ser igual a ±90° + k·180°, con k entero. En radianes, esto se expresa como: $$ \alpha + \beta \ne \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \ \ \ \ \forall \ k \in Z $$

Un ejemplo práctico

Tomemos dos ángulos concretos: a = 30° y b = 60°:

$$ \tan a = \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

$$ \tan b = \tan 60° = \sqrt{3} $$

La tangente de su suma, a+b, sería la tangente de 90°, la cual no está definida:

$$ \tan (a+b) = \tan(30°+60°) = \tan(90°) = \nexists $$

Nota: Sin embargo, si sumamos simplemente las tangentes de cada ángulo, obtenemos un valor finito: $$ \tan a + \tan b = \tan 30° + \tan 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}+3 \sqrt{3}}{3} $$ Esto confirma lo ya dicho: la suma de las tangentes de dos ángulos no equivale a la tangente de su suma. $$ a + b \ne \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \ \ \ \ \forall \ k \in Z $$

Para obtener correctamente la tangente de la suma, debemos aplicar la fórmula de adición de tangentes:

$$ \tan (a+b) = \frac{ \tan a + \tan b }{1-\tan a \tan b} $$

En nuestro caso, con a = 30° y b = 60°:

$$ \tan (30°+60°) = \frac{ \tan 30° + \tan 60° }{1-\tan 30° \tan 60°} $$

$$ \tan (30°+60°) = \frac{ \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} }{1-\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}} $$

$$ \tan (30°+60°) = \frac{ \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{3}{3}} $$

$$ \tan (30°+60°) = \frac{ \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}}{0} $$

Esto supone una división por cero, lo que implica que la tangente no está definida.

$$ \tan (30°+60°) = \nexists $$

Por tanto, el resultado es coherente.

Demostración

La tangente de un ángulo x se define como el cociente entre el seno y el coseno de ese ángulo:

$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$

Consideremos ahora x = a + b, la suma de dos ángulos:

$$ \tan (a+b) = \frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)} $$

Aplicamos la fórmula de adición del seno al numerador:

$$ \tan (a+b) = \frac{\sin a \cos b + \sin b \cos a}{\cos (a+b)} $$

Y la fórmula de adición del coseno al denominador:

$$ \tan (a+b) = \frac{\sin a \cos b + \sin b \cos a}{\cos a \cos b - \sin a \sin b} $$

Dividimos ahora numerador y denominador entre cos(a)·cos(b):

$$ \tan (a+b) = \frac{ \frac{ \sin a \cos b + \sin b \cos a }{ \cos a \cos b } }{ \frac{ \cos a \cos b - \sin a \sin b }{ \cos a \cos b } } $$

$$ \tan (a+b) = \frac{ \frac{ \sin a \cos b}{ \cos a \cos b } + \frac{\sin b \cos a }{ \cos a \cos b }}{ \frac{ \cos a \cos b }{ \cos a \cos b } - \frac{ \sin a \sin b }{ \cos a \cos b } } $$

$$ \tan (a+b) = \frac{ \frac{ \sin a}{ \cos a } + \frac{\sin b }{ \cos b } }{1 - \frac{ \sin a }{ \cos a } \cdot \frac{ \sin b }{\cos b } } $$

Como sabemos que tan(a) = sin(a)/cos(a):

$$ \tan (a+b) = \frac{ \tan a + \frac{\sin b }{ \cos b } }{1 - \tan a \cdot \frac{ \sin b }{\cos b } } $$

Y que tan(b) = sin(b)/cos(b):

$$ \tan (a+b) = \frac{ \tan a + \tan b }{1 - \tan a \cdot \tan b } $$

Y con esto queda demostrada la fórmula que queríamos obtener.

Y así sucesivamente.