Fórmula del Seno de la Suma

La fórmula del seno de la suma de dos ángulos es: $$ \sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha $$

No debe cometerse el error de escribir:

$$ \sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha + \sin \beta $$

Un ejemplo práctico

Consideremos dos ángulos: a = 30° y b = 60°

$$ \sin a = \sin 30° = \frac{1}{2} $$

$$ \sin b = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

El seno de la suma a + b no corresponde simplemente a la suma de los senos individuales:

$$ \sin (a+b) \ne \sin(a) + \sin(b) $$

$$ \sin (30°+60°) \ne \sin(30°) + \sin(60°) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$

Nota: El seno de 30° + 60° es en realidad el seno de 90°, cuyo valor es 1. Por eso, calcular el seno de una suma como si fuera la suma de los senos individuales, es decir, sin(a + b) = sin(a) + sin(b), constituye un error importante.

Veamos ahora cómo calcular correctamente el seno de a + b utilizando la fórmula de adición del seno:

$$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a $$

Sustituyendo a = 30° y b = 60°:

$$ \sin (30°+60°) = \sin 30° \cos 60° + \sin 60° \cos 30° $$

Sabemos que sin(30°) = 1/2 y sin(60°) = √3/2

$$ \sin (30°+60°) = \frac{1}{2} \cos 60° + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 30° $$

Y que cos(30°) = √3/2 y cos(60°) = 1/2

$$ \sin (30°+60°) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \sin (30°+60°) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} $$

$$ \sin (30°+60°) = \frac{4}{4} $$

$$ \sin (30°+60°) = 1 $$

Por lo tanto, el seno de 30° + 60° es efectivamente igual a 1.

El cálculo es correcto.

Demostración

Demostraremos ahora la fórmula del seno de la suma de dos ángulos a y b:

$$ \sin(a+b) $$

Partimos del hecho de que x = a + b

$$ \sin x $$

El seno de x puede expresarse de forma equivalente usando el ángulo asociado \( \frac{\pi}{2} - x \):

$$ \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) $$

Como x = a + b, se tiene:

$$ \sin (a+b) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - (a+b) \right) $$

$$ \sin (a+b) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - a - b \right) $$

Reescribimos el argumento del coseno del modo siguiente:

$$ \sin (a+b) = \cos \left[ \left( \frac{\pi}{2} - a \right) - b \right] $$

Aplicamos ahora la fórmula de la diferencia del coseno al par \( \left( \frac{\pi}{2} - a \right) \) y b:

$$ \sin (a+b) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - a \right) \cos b + \sin b \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) $$

Dado que cos(\( \frac{\pi}{2} - a \)) = sin(a) (por ser ángulos complementarios):

$$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \sin b \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) $$

Y como sin(\( \frac{\pi}{2} - a \)) = cos(a):

$$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a $$

Y esa es precisamente la fórmula del seno de una suma que queríamos demostrar.

Demostración completada.