Fórmulas de Werner
¿Qué son las fórmulas de Werner?
En trigonometría, las fórmulas de Werner permiten transformar un producto de funciones trigonométricas en una suma de funciones. $$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) ] $$ $$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) ] $$ $$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) ] $$
¿Para qué sirven?
Las fórmulas de Werner constituyen, en esencia, el procedimiento inverso de las fórmulas de prostaféresis.
Mientras que las fórmulas de prostaféresis transforman una suma en un producto de funciones trigonométricas, las de Werner convierten un producto en una suma.
Nota: Resulta curioso que el propio Johann Werner, además de formular estas identidades, también sea considerado el creador de las fórmulas de prostaféresis. Esto pone de relieve la estrecha relación entre ambos conjuntos de fórmulas, sobre todo en sus deducciones.
Un ejemplo práctico
Veamos un ejemplo sencillo con el seno de 30° (π/6) y el coseno de 60° (π/3):
$$ \sin 30° = \frac{1}{2} $$
$$ \cos 60° = \frac{1}{2} $$
El producto de estas dos funciones trigonométricas es:
$$ \sin 30° \cdot \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$
Comprobemos ahora si la fórmula de Werner conduce al mismo resultado.
$$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) ] $$
En este caso, α=30° y β=60°.
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (30°+60°) + \sin(30°-60°) ] $$
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (90°) + \sin(-30°) ] $$
Sabemos que el seno de 90° es 1:
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ 1 + \sin(-30°) ] $$
Y que el seno de -30° es -1/2:
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ 1 - \frac{1}{2} ] $$
Al simplificar la expresión obtenemos:
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} $$
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{4} $$
Como era de esperar, el resultado coincide perfectamente.
La demostración
Primera fórmula de Werner
$$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) ] $$
Para demostrar la primera fórmula de Werner, recurrimos a las fórmulas de adición y sustracción del seno:
$$ \begin{cases} \sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \\ \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Sumamos ambas ecuaciones:
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $$
Al simplificar se obtiene:
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = 2 \cdot \sin \alpha \cos \beta $$
Dividimos entre 2 ambos lados:
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) ] = \sin \alpha \cos \beta $$
Y queda demostrada.
Segunda fórmula de Werner
$$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) ] $$
Para demostrar la segunda fórmula de Werner, usamos las fórmulas de adición y sustracción del coseno:
$$ \begin{cases} \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \\ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Al sumar ambas expresiones obtenemos:
$$ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) = 2 \cdot \cos \alpha \cos \beta $$
Dividimos de nuevo entre 2:
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) ] = \cos \alpha \cos \beta $$
Con lo cual la demostración queda completa.
Tercera fórmula de Werner
$$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) ] $$
Para la tercera fórmula de Werner, volvemos a aplicar las fórmulas de adición y sustracción del coseno:
$$ \begin{cases} \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \\ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Si restamos las dos ecuaciones, resulta:
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = -2 \cdot \sin \alpha \sin \beta $$
Dividimos entre 2 ambos lados:
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) ] = - \sin \alpha \sin \beta $$
Y, al multiplicar ambos lados por -1, obtenemos:
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha-\beta) - \cos (\alpha+\beta) ] = \sin \alpha \sin \beta $$
Así queda demostrada.
