Fórmula del Seno de la Diferencia

La fórmula que permite calcular el seno de la diferencia entre dos ángulos es: $$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha $$

Es un error escribir simplemente:

$$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha - \sin \beta $$

Un ejemplo práctico

Tomemos dos ángulos: a = 90° y b = 30°

$$ \sin a = \sin 90° = 1 $$

$$ \sin b = \sin 30° = \frac{1}{2} $$

Nota: El seno de la diferencia entre dos ángulos no equivale, en general, a la resta de sus senos. $$ \sin(a - b) \ne \sin a - \sin b $$ $$ \sin(90° - 30°) \ne \sin 90° - \sin 30° = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ En realidad, el seno de 90° - 30° coincide con el seno de 60°, cuyo valor es: $$ \sin(90° - 30°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Calculemos ahora el valor exacto utilizando la fórmula del seno de la diferencia:

$$ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a $$

Sustituyendo a = 90° y b = 30°, obtenemos:

$$ \sin(90° - 30°) = \sin 90° \cos 30° - \sin 30° \cos 90° $$

Como sin(90°) = 1 y cos(90°) = 0, el cálculo se simplifica así:

$$ \sin(90° - 30°) = 1 \cdot \cos 30° - \frac{1}{2} \cdot 0 $$

$$ \sin(90° - 30°) = \cos 30° $$

Y como cos(30°) = √3/2, concluimos que:

$$ \sin(90° - 30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Por lo tanto, el valor del seno de 90° - 30° es efectivamente √3/2.

$$ \sin(90° - 30°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

El resultado es correcto.

Demostración de la fórmula

Partimos del seno de la diferencia entre dos ángulos:

$$ \sin(a - b) $$

Este se puede reescribir como:

$$ \sin(a - b) = \sin[a + (-b)] $$

Lo cual nos permite aplicar la fórmula de adición del seno:

$$ \sin(a - b) = \sin a \cos(-b) + \sin(-b) \cos a $$

Recordemos que el seno es una función impar, por lo que sin(-b) = -sin(b).

$$ \sin(a - b) = \sin a \cos(-b) - \sin b \cos a $$

El coseno, en cambio, es una función par, de modo que cos(-b) = cos(b).

$$ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a $$

Y así obtenemos la fórmula deseada.

La demostración queda así completada.