Teorema del valor medio para integrales

Si \( f(x) \) es continua en el intervalo [a, b], entonces existe un punto \( x_0 \in [a, b] \) tal que $$ \int_a^b f(x) \: dx = f(x_0) \cdot (b - a) $$

¿Qué significa esto?

El área del rectángulo dada por \( f(x_0) \cdot (b - a) \) coincide con el área bajo la curva de \( f(x) \) en el intervalo [a, b], ya que las regiones A y B tienen exactamente la misma área.

En otras palabras, si conocemos el valor \( x_0 \) en el que la función alcanza su valor medio en el intervalo [a, b], podemos obtener el mismo resultado que la integral definida utilizando la expresión \( f(x_0) \cdot (b - a) \).

Demostración

La integral definida queda acotada entre la suma inferior y la suma superior de Riemann, \( s(P) \) y \( S(P) \), para cualquier partición \( P \) del intervalo [a, b]:

$$ s(P) \le \int_a^b f(x) \: dx \le S(P) $$

Consideremos ahora una partición muy simple \( P \) formada únicamente por los extremos del intervalo: [a, b].

La suma inferior, tomando \( m = \min f(x) \) en [a, b], es:

$$ s(P) = m \cdot (b - a) $$

La suma superior, tomando \( M = \max f(x) \) en [a, b], es:

$$ S(P) = M \cdot (b - a) $$

Sustituyendo estas expresiones en la desigualdad anterior obtenemos:

$$ m \cdot (b - a) \le \int_a^b f(x) \: dx \le M \cdot (b - a) $$

Dividimos ahora cada miembro de la desigualdad por \( (b - a) \):

$$ \frac{m \cdot (b - a)}{b - a} \le \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \: dx \le \frac{M \cdot (b - a)}{b - a} $$

Lo que se simplifica en:

$$ m \le \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \: dx \le M $$

Por lo tanto existe un número \( y_0 \) tal que:

$$ y_0 = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \: dx $$

y además se cumple que:

$$ m \le y_0 \le M $$

Por el Teorema del Valor Intermedio, existe entonces un punto \( x_0 \in [a, b] \) tal que:

$$ y_0 = f(x_0) $$

De este modo se obtiene:

$$ \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \: dx = f(x_0) $$

y por consiguiente:

$$ \int_a^b f(x) \: dx = f(x_0) \cdot (b - a) $$

El rectángulo cuya altura es \( f(x_0) \) y cuya base es \( (b - a) \) tiene exactamente la misma área que la región situada bajo la curva de \( f(x) \) en el intervalo [a, b].

Por lo tanto, el área del rectángulo \( f(x_0) \cdot (b - a) \) coincide exactamente con la integral definida \( \int_a^b f(x) \: dx \).

Y así sucesivamente.