Integrales impropias
Las integrales impropias son integrales definidas en las que el intervalo de integración es no acotado, o bien la función integrando se hace no acotada dentro de un intervalo finito.
En la práctica, las integrales definidas se utilizan para estudiar funciones continuas y acotadas en intervalos cerrados y finitos. Sin embargo, en muchos problemas reales estas condiciones no se cumplen.
Cuando esto ocurre, entramos en el terreno de las integrales impropias.
Integración en intervalos infinitos
Una integral es impropia cuando el intervalo de integración se extiende hasta el infinito:
$$ \int_a^{+\infty} f(x) \: dx $$
Ejemplo. Aquí la función está acotada, pero el intervalo de integración no lo está: [a, ∞).
Para dar sentido a este tipo de integrales, se introduce una idea clave:
definir la integral como el límite de integrales definidas en intervalos finitos.
$$ \int_a^{+\infty} f(x) \: dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) \: dx $$
Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, esta expresión se puede escribir como:
$$ \int_a^{+\infty} f(x) \: dx = \lim_{b \to +\infty} [F(x)]_a^b $$
Todo el problema se reduce entonces a estudiar este límite:
- Si el límite existe y es finito, la integral es convergente.
- Si el límite existe pero crece sin límite, la integral es divergente.
- Si el límite no existe, la integral es oscilatoria.
Interpretación
Supongamos que \( f(x) \) es continua y no negativa en [a, ∞). Entonces:
$$ \int_a^{+\infty} f(x) \: dx = \lim_{b \to +\infty} \left( F(b) - F(a) \right) $$
Como \( F(a) \) es constante, el comportamiento de la integral depende únicamente de:
$$ \lim_{b \to +\infty} F(b) $$
Nota. \( F(b) \) es una primitiva de \( f(x) \), es decir, cumple \( F'(b) = f(b) \).
Además, si \( f(x) \ge 0 \), entonces \( F(b) \) es una función no decreciente. Esto garantiza que el límite existe, aunque pueda ser infinito.
Ejemplo 1
Consideremos:
$$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \: dx $$
La evaluamos como límite:
$$ \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} \: dx $$
Una primitiva de \( \frac{1}{x^2} \) es \( -\frac{1}{x} \), por lo que:
$$ \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{b} + 1 \right) = 1 $$
El resultado es finito, así que la integral converge y vale 1.
Nota. En general, para $$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^k} \: dx $$ la integral converge si \( k > 1 \) y su valor es $$ \frac{1}{k-1} $$ Diverge si \( k \le 1 \).
Ejemplo 2
$$ \int_1^{+\infty} \cos x \: dx $$
$$ = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \cos x \: dx = \lim_{b \to +\infty} [\sin x]_1^b $$
En este caso, el límite no existe porque \( \sin b \) oscila indefinidamente.
Por tanto, la integral es oscilatoria.
Integrandos no acotados en intervalos finitos
Otro tipo de integral impropia aparece cuando la función se vuelve infinita en algún punto de un intervalo finito:
$$ \int_a^b f(x) \: dx $$
Nota. Por ejemplo, la función puede estar definida en un intervalo finito pero no ser continua en uno de sus extremos, es decir, diverge cuando \( x \to b^- \). En ese caso, la función está definida en [a, b), no en [a, b].
Para manejar esta situación, se vuelve a recurrir a un límite. Se evita el punto problemático acercándose a él desde el interior del intervalo:
$$ \int_a^b f(x) \: dx = \lim_{h \to 0^+} \int_{a+h}^b f(x) \: dx $$
De este modo, la función queda bien definida en [a + h, b].
Nota. Si la singularidad está en el extremo superior, se escribe: $$ \int_a^b f(x) \: dx = \lim_{h \to 0^+} \int_a^{b - h} f(x) \: dx $$
Como antes, la naturaleza de la integral depende del límite:
- Si existe y es finito, la integral es convergente.
- Si diverge, la integral es divergente.
- Si no existe, la integral es oscilatoria.
Ejemplo
Consideremos:
$$ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \: dx $$
Nota. La función no está definida en \( x = 0 \), por lo que no podemos integrar directamente. Evaluamos entonces:
$$ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \: dx = \lim_{h \to 0^+} \int_h^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \: dx $$
Una primitiva de \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) es \( 2\sqrt{x} \), de modo que:
$$ = \lim_{h \to 0^+} [2\sqrt{x}]_h^1 = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{0} = 2 $$
El límite es finito, por lo tanto la integral impropia converge y su valor es:
$$ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \: dx = 2 $$
Así se completa la evaluación de la integral.
