Aproximación de integrales mediante el método de Euler

El método de Euler es una técnica numérica clásica que se utiliza, sobre todo, para resolver ecuaciones diferenciales de forma aproximada. Sin embargo, también puede emplearse para estimar el valor de una integral definida de una función $ y = f(t) $ mediante un procedimiento iterativo: $$ \int_a^b f(t) \, dt $$ A partir de una condición inicial $ y_0, t_0 $, la aproximación se construye paso a paso según la expresión: $$ y_j = y_{j-1} + \frac{dy}{dt}\big|_{t = t_{j-1}} \cdot \Delta t $$ donde $ \Delta t $ es el tamaño del paso de discretización: $$ t_j = t_{j-1} + \Delta t $$

Si queremos aproximar una integral en el intervalo $[a, b]$:

$$ \int_a^b f(t) \, dt $$

dividimos el intervalo en $ n $ subintervalos iguales. Esto determina el tamaño del paso:

$$ \Delta t = \frac{b - a}{n} $$

Elegimos un punto inicial $ t_0 $ y evaluamos la función en ese punto:

$$ y_0 = f(t_0) $$

A partir de aquí, construimos la aproximación de forma iterativa. El siguiente valor se obtiene mediante:

$$ y_1 = y_0 + \frac{dy}{dt}\big|_{t = t_0} \cdot \Delta t $$

La idea es sencilla: utilizamos la derivada en $ t_0 $, es decir, la pendiente de la tangente, para estimar cómo evoluciona la función en un pequeño intervalo.

Nota: El método proporciona una aproximación. El error se acumula a lo largo del intervalo, aunque disminuye al reducir el tamaño del paso.

Cómo funciona paso a paso

Para entender mejor el procedimiento, consideramos la gráfica de una función $ y = f(t) $ en el intervalo $[a, b]$:

gráfica de la función y = f(t)

Dividimos el intervalo en tres partes iguales ($ n = 3 $):

$$ \Delta x = \frac{b - a}{n} $$

Cada subintervalo tiene la misma longitud $ \Delta x $:

discretización del intervalo [a, b]

Nota: Aquí usamos solo tres subintervalos para simplificar la explicación. En la práctica, se emplean muchos más para mejorar la precisión.

Partimos de un punto inicial $ x_0 $ y calculamos $ y_0 = f(x_0) $.

Este es el punto de partida $ (x_0, y_0) $:

punto inicial (x₀, y₀)

A continuación, calculamos el siguiente punto $ (x_1, y_1) $:

$$ \begin{cases} x_1 = x_0 + \Delta x \\\\ y_1 = y_0 + \frac{dy}{dx}\big|_{x = x_0} \cdot \Delta x \end{cases} $$

Evaluamos la derivada en $ x_0 $ y usamos la recta tangente para estimar el valor de la función en $ x_1 $.

Así obtenemos una primera aproximación:

punto aproximado (x₁, y₁)

Repetimos el proceso para calcular $ (x_2, y_2) $:

$$ \begin{cases} x_2 = x_1 + \Delta x \\\\ y_2 = y_1 + \frac{dy}{dx}\big|_{x = x_1} \cdot \Delta x \end{cases} $$

Ahora utilizamos la pendiente en $ x_1 $ para construir la siguiente aproximación:

punto aproximado (x₂, y₂)

Finalmente, repetimos el mismo procedimiento para obtener $ (x_3, y_3) $:

$$ \begin{cases} x_3 = x_2 + \Delta x \\\\ y_3 = y_2 + \frac{dy}{dx}\big|_{x = x_2} \cdot \Delta x \end{cases} $$

De este modo construimos una aproximación de la función basada en segmentos rectos:

punto aproximado (x₃, y₃)

El resultado es una función aproximada a trozos $ y^* $, formada por tramos lineales.

Esta función nos permite estimar el área bajo la curva y, por tanto, aproximar la integral en $[a, b]$ sumando las áreas de cada subintervalo: \[ [x_0, x_1],\ [x_1, x_2],\ [x_2, x_3] \]

Como cada tramo es lineal, las áreas se calculan fácilmente mediante geometría básica, usando rectángulos y triángulos.

área bajo la aproximación lineal a trozos

Sumando todas estas áreas obtenemos una estimación del valor de la integral:

estimación de la integral definida

Aumentando el número de subintervalos, la aproximación mejora progresivamente.