Integrabilidad de las funciones continuas

Si una función $ f(x) $ es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces es integrable en el sentido de Riemann en [a, b].

Demostración

Un resultado fundamental del análisis matemático afirma que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua. Este resultado se conoce como teorema de Heine-Cantor.

En consecuencia, si $ f $ es continua en el intervalo [a, b], entonces también es uniformemente continua en dicho intervalo.

Esto significa que, dado cualquier $ \epsilon > 0 $, existe un número $ \delta > 0 $ tal que:

$$ |f(x) - f(x')| < \frac{\epsilon}{b - a} $$

para todos los puntos $ x, x' \in [a, b] $ que cumplen:

$$ |x - x'| < \delta $$

Consideremos ahora una partición arbitraria $ P $ del intervalo [a, b]:

$$ P = ( x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n ) $$

donde $ x_0 = a $ y $ x_n = b $. Por lo tanto, la partición puede escribirse también como:

$$ P = ( a, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, b ) $$

Supongamos que cada subintervalo de la partición es suficientemente pequeño, es decir:

$$ |x_k - x_{k-1}| < \delta $$

En cada subintervalo $[x_{k-1}, x_k]$ consideramos los siguientes valores:

área bajo la gráfica de la función en un subintervalo del intervalo

$$ m_k = \inf \{ f(x) \mid x \in [x_{k-1}, x_k] \} $$

$$ M_k = \sup \{ f(x) \mid x \in [x_{k-1}, x_k] \} $$

Estos valores representan, respectivamente, el mínimo inferior y el máximo superior que la función alcanza en ese subintervalo.

A partir de la desigualdad anterior se obtiene una cota para la oscilación de la función en cada subintervalo:

$$ M_k - m_k < \frac{\epsilon}{b - a} $$

Nota: No es necesario utilizar el valor absoluto, ya que por definición el supremo $ M_k $ es mayor o igual que el ínfimo $ m_k $. Por lo tanto, siempre se cumple $ M_k - m_k \ge 0 $.

Multiplicando ambos lados por la longitud del subintervalo $ x_k - x_{k-1} $, obtenemos:

$$ (M_k - m_k) \cdot (x_k - x_{k-1}) < \frac{\epsilon}{b - a} \cdot (x_k - x_{k-1}) $$

Desde el punto de vista geométrico, el término de la izquierda representa la diferencia entre las áreas de dos rectángulos: uno construido con altura $ M_k $ y otro con altura $ m_k $.

rectángulos superior e inferior que aproximan el área bajo la función en un subintervalo

Si ahora sumamos esta desigualdad en todos los subintervalos de la partición $ P $, obtenemos:

$$ \sum_{k=1}^n (M_k - m_k) \cdot (x_k - x_{k-1}) < \frac{\epsilon}{b - a} \cdot \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) $$

El término de la izquierda corresponde a la diferencia entre las sumas superior e inferior de Riemann:

$$ S(P) - s(P) < \frac{\epsilon}{b - a} \cdot \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) $$

Visualmente:

diferencia entre las sumas superior e inferior de Riemann

La suma $ \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) $ coincide con la longitud total del intervalo:

$$ S(P) - s(P) < \frac{\epsilon}{b - a} \cdot (b - a) $$

lo que se simplifica en la condición clásica de integrabilidad de Riemann:

$$ S(P) - s(P) < \epsilon $$

Esto demuestra que cualquier función continua en el intervalo [a, b] es integrable en el sentido de Riemann.