Refinamiento de particiones en la integral de Riemann
Sean P y Q dos particiones del intervalo [a, b]. La partición R obtenida al unirlas, $$ R = P \cup Q $$ satisface las siguientes desigualdades: $$ s(P) \le s(R) \le S(R) \le S(Q) $$ Aquí, \( s(\cdot) \) representa la suma inferior de Darboux y \( S(\cdot) \) la suma superior de Darboux.
En la teoría de la integral de Riemann, las sumas de Darboux se utilizan para aproximar el área bajo la gráfica de una función. Cada partición del intervalo divide el dominio en subintervalos, y sobre cada uno de ellos se construyen rectángulos cuya altura depende del valor mínimo o máximo de la función.
De esta forma se obtiene una región escalonada que aproxima el área bajo la curva. Según se utilicen mínimos o máximos, la región queda inscrita o circunscrita al gráfico de la función.
Demostración
Consideremos primero la partición P, formada por dos puntos consecutivos del intervalo:
xk-1 y xk.
Ahora consideremos otra partición Q que añade un punto adicional x dentro del mismo intervalo.
Al unir ambas particiones obtenemos una nueva partición R formada por los tres puntos:
$$ R = P \cup Q = \{ x_{k-1}, x, x_k \} $$
Esta nueva partición divide el intervalo original en dos subintervalos:
[xk-1, x] y [x, xk].
Veamos ahora qué ocurre con las sumas inferior y superior de Darboux cuando se refina una partición.
1] Sumas inferiores de Darboux
En cada subintervalo de R consideramos el valor ínfimo de la función:
$$ m_1 = \inf([x_{k-1}, x]) $$
$$ m_2 = \inf([x, x_k]) $$
En el siguiente esquema se muestran estos valores.
Las sumas inferiores correspondientes a las particiones P y R son:
$$ s(P) = m_k \cdot (x_k - x_{k-1}) $$
$$ s(R) = m_1 \cdot (x - x_{k-1}) + m_2 \cdot (x_k - x) $$
La siguiente figura muestra gráficamente ambas sumas.
La diferencia entre las dos expresiones es:
$$ s(R) - s(P) = [m_1 \cdot (x - x_{k-1}) + m_2 \cdot (x_k - x)] - m_k \cdot (x_k - x_{k-1}) $$
Nota: Desde el punto de vista geométrico se observa que \( s(R) - s(P) > 0 \). Por lo tanto $$ s(R) \ge s(P) $$
Además, se cumple que
$$ m_1 \ge m_k \quad \text{y} \quad m_2 \ge m_k $$
porque el intervalo [xk-1, xk] contiene a los dos subintervalos [xk-1, x] y [x, xk].
Sustituyendo \( m_k \) en lugar de \( m_1 \) y \( m_2 \) obtenemos:
$$ s(R) - s(P) \ge [m_k \cdot (x - x_{k-1}) + m_k \cdot (x_k - x)] - m_k \cdot (x_k - x_{k-1}) $$
$$ s(R) - s(P) \ge m_k \cdot (x - x_{k-1} + x_k - x - x_k + x_{k-1}) $$
$$ s(R) - s(P) \ge m_k \cdot 0 = 0 $$
Por lo tanto
$$ s(R) \ge s(P) $$
2] Sumas superiores de Darboux
Ahora analizamos las sumas superiores. En cada subintervalo de R tomamos el valor supremo de la función:
$$ M_1 = \sup([x_{k-1}, x]) $$
$$ M_2 = \sup([x, x_k]) $$
Las sumas superiores correspondientes a las particiones Q y R son:
$$ S(Q) = M_k \cdot (x_k - x_{k-1}) $$
$$ S(R) = M_1 \cdot (x - x_{k-1}) + M_2 \cdot (x_k - x) $$
La representación gráfica es la siguiente.
La diferencia entre las dos sumas es:
$$ S(Q) - S(R) = M_k \cdot (x_k - x_{k-1}) - [M_1 \cdot (x - x_{k-1}) + M_2 \cdot (x_k - x)] $$
Nota: Del diagrama se aprecia que \( S(Q) - S(R) > 0 \). Por lo tanto $$ S(Q) \ge S(R) $$
Además se cumple que
$$ M_1 \le M_k \quad \text{y} \quad M_2 \le M_k $$
por lo que podemos sustituir nuevamente \( M_k \) por \( M_1 \) y \( M_2 \):
$$ S(Q) - S(R) \ge M_k \cdot (x_k - x_{k-1}) - [M_k \cdot (x - x_{k-1}) + M_k \cdot (x_k - x)] $$
$$ S(Q) - S(R) \ge M_k \cdot (x_k - x_{k-1} - x + x_{k-1} - x_k + x) $$
$$ S(Q) - S(R) \ge M_k \cdot 0 = 0 $$
Por lo tanto
$$ S(Q) \ge S(R) $$
3] Conclusión
Del análisis de las sumas inferior y superior de Darboux obtenemos:
$$ s(R) \ge s(P) \quad \text{y} \quad S(Q) \ge S(R) $$
Dado que toda suma superior es mayor o igual que cualquier suma inferior, podemos reunir todas las desigualdades:
$$ S(Q) \ge S(R) \ge s(R) \ge s(P) $$
De forma equivalente:
$$ s(P) \le s(R) \le S(R) \le S(Q) $$
Esto confirma la proposición inicial.
Y así sucesivamente.
