Integrales dobles

Una integral doble amplía el concepto de integral definida a funciones de dos variables, \( f(x, y) \). Es una herramienta fundamental para calcular el volumen comprendido bajo la superficie definida por \( z = f(x, y) \) y sobre una región \( D \) del plano: \[\iint_D f(x, y)\, dA\] En esta expresión, \( dA \) representa un elemento infinitesimal de área de la región \( D \) y puede escribirse como \( dx\,dy \) o \( dy\,dx \), según el orden de integración elegido.

Desde un punto de vista geométrico, la integral doble \( \iint_D f(x, y)\, dA \) describe el volumen del sólido limitado por arriba por la superficie \( z = f(x, y) \) y por abajo por la región \( D \) situada en el plano \( xy \), donde la superficie inferior es el plano \( z = 0 \).

Esta interpretación es válida siempre que la función cumpla \( f(x, y) \geq 0 \) en toda la región \( D \).

Si la función toma también valores negativos, la integral doble deja de representar un volumen en sentido físico y pasa a expresar el volumen algebraico o volumen neto con signo. En este caso, el resultado es la diferencia entre el volumen situado por encima del plano \( z = 0 \), donde \( f > 0 \), y el volumen situado por debajo, donde \( f < 0 \).

Cálculo de una integral doble

En la práctica, las integrales dobles se calculan como integrales iteradas. Una forma habitual de escribirlas es:

\[ \iint_D f(x, y)\, dA = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\, dy \right) dx \]

También es posible invertir el orden de integración:

\[ \iint_D f(x, y)\, dA = \int_c^d \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y)\, dx \right) dy \]

La elección del orden de integración depende de cómo esté definida la región \( D \). En algunos casos resulta más sencillo integrar primero con respecto a \( y \), mientras que en otros conviene hacerlo con respecto a \( x \).

En definitiva, se puede elegir el orden que haga el cálculo más simple, siempre que la región \( D \) quede correctamente descrita de acuerdo con ese orden.

Nota. Al cambiar el orden de integración es esencial revisar cuidadosamente los límites. Una orientación incorrecta puede introducir un signo negativo no deseado en el resultado final.

Un ejemplo concreto

Consideremos la función \( f(x, y) = x + y \) definida sobre la región rectangular \( D = [0,1] \times [0,2] \).

La integral doble asociada es:

\[ \iint_D (x + y)\, dA = \int_0^1 \left( \int_0^2 (x + y)\, dy \right) dx \]

Empezamos integrando con respecto a \( y \):

\[ \int_0^2 (x + y)\, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = 2x + 2 \]

A continuación, integramos con respecto a \( x \):

\[ \int_0^1 (2x + 2)\, dx = \left[ x^2 + 2x \right]_0^1 = 1 + 2 = 3 \]

El valor de la integral doble es, por tanto, 3. Este resultado representa el volumen comprendido bajo la superficie \( z = x + y \) y sobre el rectángulo \( D = [0,1] \times [0,2] \) en el plano \( xy \).

En la figura siguiente se muestra una representación tridimensional de la superficie \( z = x + y \) sobre la región rectangular \( D = [0,1] \times [0,2] \):

El rectángulo gris en la base corresponde a la región de integración \( D \), mientras que el sólido coloreado entre dicha región y la superficie representa el volumen 3 calculado mediante la integral doble.

Ejemplo 2

Tomemos ahora la misma función \( f(x, y) = x + y \), pero integrada sobre una región cuadrada:

\[ D = [-1, 1] \times [-1, 1] \]

En esta región, la función \( x + y \) se comporta de la siguiente manera:

• Es positiva cuando \( x + y > 0 \).
• Es negativa cuando \( x + y < 0 \).
• Se anula sobre la recta \( x + y = 0 \).

Calculemos la integral:

\[ \iint_D (x + y)\, dA = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} (x + y)\, dy\,dx \]

Integrando primero con respecto a \( y \) se obtiene:

\[ \int_{-1}^{1} (x + y)\, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^1 = 2x \]

Integrando después con respecto a \( x \):

\[ \int_{-1}^{1} 2x\, dx = \left[ x^2 \right]_{-1}^1 = 0 \]

Aunque la función \( x + y \) no es nula en toda la región, la integral doble vale cero porque las aportaciones positivas y negativas se compensan exactamente.

Este ejemplo muestra que una integral doble no siempre representa un volumen físico. En muchos contextos expresa un valor neto con signo, obtenido al restar el volumen situado por debajo del plano \( z = 0 \) al volumen situado por encima.

La interpretación como volumen geométrico solo es válida cuando la función mantiene un signo constante, no negativo o no positivo, en toda la región de integración.

Y así sucesivamente.