Cambio de variable en integrales definidas
El cambio de variable es una técnica fundamental en cálculo integral. Aunque suele introducirse en el contexto de las integrales indefinidas, también puede aplicarse sin dificultad a las integrales definidas.
Existen dos formas equivalentes de expresarlo:
- Si \( x = g(t) \), entonces: $$ \int_a^b f(x)\,dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t)) \cdot g'(t)\,dt $$
- Si \( t = g(x) \), entonces: $$ \int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt $$
Ambas expresiones representan la misma idea: transformar la integral original en otra equivalente, pero más sencilla de calcular.
Ejemplo práctico
Consideremos la siguiente integral definida:
$$ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \cdot \cos(x^2)\,dx $$
Para simplificarla, introducimos el cambio de variable:
$$ t = x^2 $$
Calculamos el diferencial:
$$ dt = 2x \, dx $$
Este paso es clave, porque nos permite sustituir el producto \( x\,dx \):
$$ \frac{dt}{2} = x\, dx $$
Sustituyendo en la integral, obtenemos:
$$ \int_{x=0}^{x=\sqrt{\pi}} \cos(t) \cdot \frac{dt}{2} $$
Extraemos la constante:
$$ \frac{1}{2} \int_{x=0}^{x=\sqrt{\pi}} \cos(t)\,dt $$
Ahora debemos ajustar los límites de integración. Como \( t = x^2 \):
$$ t = 0 \quad \text{cuando} \quad x = 0 $$
$$ t = \pi \quad \text{cuando} \quad x = \sqrt{\pi} $$
La integral queda:
$$ \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos(t)\,dt $$
Esta es una integral elemental:
$$ \frac{1}{2} [\sin(t)]_0^\pi = \frac{1}{2} (\sin \pi - \sin 0) = 0 $$
Por lo tanto:
$$ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \cdot \cos(x^2)\,dx = 0 $$
Segundo enfoque
Podemos resolver la misma integral desde una perspectiva más formal.
Partimos de nuevo de:
$$ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \cdot \cos(x^2)\,dx $$
Tomamos el mismo cambio de variable \( t = x^2 \), pero ahora expresamos \( x \) en función de \( t \):
$$ x = \sqrt{t} $$
Calculamos el diferencial:
$$ dx = \frac{1}{2\sqrt{t}}\,dt $$
Sustituimos en la integral:
$$ \int_{x=0}^{x=\sqrt{\pi}} \sqrt{t} \cdot \cos(t)\,\frac{1}{2\sqrt{t}}\,dt $$
Simplificamos:
$$ \frac{1}{2} \int_{x=0}^{x=\sqrt{\pi}} \cos(t)\,dt $$
De nuevo, convertimos los límites usando \( t = x^2 \):
- Si \( x = 0 \), entonces \( t = 0 \)
- Si \( x = \sqrt{\pi} \), entonces \( t = \pi \)
La integral se transforma en:
$$ \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos(t)\,dt $$
Y obtenemos otra vez:
$$ \frac{1}{2} [\sin(t)]_0^\pi = 0 $$
Como era de esperar, el resultado coincide.
Nota. Este segundo enfoque es más formal, ya que utiliza la sustitución \( x = g(t) \) y requiere trabajar explícitamente con la función inversa. Es especialmente útil para comprender la formulación general del cambio de variable en integrales definidas. Sin embargo, en la práctica, el cambio directo \( t = x^2 \) suele ser más rápido y natural. La elección depende del tipo de problema y del método que simplifique mejor el cálculo.
Y así sucesivamente.
