Aire du losange

L'aire d'un losange se calcule en multipliant les longueurs de ses deux diagonales, puis en divisant le résultat par deux : $$ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$

Cette formule est particulièrement pratique lorsque les longueurs des deux diagonales sont connues. Elle découle d'une propriété géométrique fondamentale : l'aire d'un losange est exactement égale à la moitié de celle d'un rectangle dont les côtés ont la même longueur que ses diagonales.

Formules inverses

À partir de la formule de l'aire

$$ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$

il est possible de retrouver la longueur de l'une des diagonales lorsque l'aire et l'autre diagonale sont connues.

On part de l'égalité :

$$ 2A = d_1 \cdot d_2 $$

En divisant les deux membres par d₂, on obtient :

$$ d_1 = \frac{2A}{d_2} $$

De la même manière, en divisant les deux membres par d₁, on obtient :

$$ d_2 = \frac{2A}{d_1} $$

Exemple de calcul

Considérons un losange dont les diagonales mesurent d₁ = 3 cm et d₂ = 4 cm.

La formule est la suivante :

$$ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$

En remplaçant les valeurs connues :

$$ A = \frac{3 \ cm \times 4 \ cm}{2} $$

$$ A = \frac{12 \ cm^2}{2} $$

$$ A = 6 \ cm^2 $$

L'aire du losange est donc de 6 cm².

Démonstration de la formule

Considérons un losange ABCD.

Traçons par chacun de ses sommets des droites perpendiculaires aux diagonales.

Ces droites, parallèles deux à deux, délimitent un rectangle noté EFGI.

Les côtés de ce rectangle ont respectivement la même longueur que les diagonales du losange.

$$ d_1 = AC = EF = GI $$

$$ d_2 = BD = EI = FG $$

Le rectangle est partagé en huit triangles rectangles congruents, tandis que le losange est constitué de quatre de ces mêmes triangles.

L'aire du losange représente donc exactement la moitié de celle du rectangle.

L'aire du rectangle est donnée par la formule :

$$ A_{\text{rectangle}} = b \cdot h $$

L'aire du losange vaut donc :

$$ A_{\text{losange}} = \frac{A_{\text{rectangle}}}{2} $$

En remplaçant l'aire du rectangle par son expression, on obtient :

$$ A_{\text{losange}} = \frac{b \cdot h}{2} $$

Or les dimensions du rectangle correspondent aux longueurs des diagonales du losange, avec b = d₁ et h = d₂. On en déduit :

$$ A_{\text{losange}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$

Cette démonstration explique pourquoi il suffit de multiplier les deux diagonales puis de diviser le résultat par deux pour obtenir l'aire d'un losange.

Remarques

Voici quelques propriétés utiles à connaître :

• Le losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont de même longueur. Son aire peut donc également être calculée à l'aide de la formule générale du parallélogramme : $$ A = b \cdot h $$ où b désigne la base et h la hauteur correspondante. Contrairement au triangle, il ne faut pas diviser ce produit par deux.
• Le carré est un cas particulier de losange dont les diagonales sont de même longueur. Sa surface peut donc être calculée avec la formule du losange : $$ A = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{d^2}{2} $$ Cette relation permet également de déterminer la longueur de la diagonale à partir de l'aire : $$ 2A = d^2 $$ $$ d^2 = 2A $$ En prenant la racine carrée des deux membres : $$ \sqrt{d^2} = \sqrt{2A} $$ Comme une longueur est toujours positive : $$ d = \sqrt{2A} $$

Les mêmes principes permettent d'établir d'autres relations entre l'aire d'un losange, la longueur de ses diagonales, celle de sa base et sa hauteur.