Losange

Un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont de même longueur.

Autrement dit, un losange est un quadrilatère équilatéral, c'est-à-dire une figure à quatre côtés de même longueur.

Comme tout parallélogramme, le losange possède plusieurs propriétés fondamentales :

• ses côtés opposés sont parallèles ;
• ses côtés opposés ont la même longueur ;
• ses angles opposés ont la même mesure ;
• deux angles consécutifs sont supplémentaires, c'est-à-dire que leur somme est égale à 180° ;
• ses diagonales se coupent en leur milieu.

Le losange se distingue également par plusieurs propriétés spécifiques :

• ses quatre côtés ont exactement la même longueur ;
• ses diagonales sont perpendiculaires et forment quatre angles droits à leur point d'intersection ;
• chaque diagonale est la bissectrice des deux angles opposés qu'elle relie.

Il faut toutefois rester attentif : certaines de ces propriétés, prises isolément, ne suffisent pas à prouver qu'un quadrilatère est un losange. En revanche, tout quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur est, par définition, un losange.

Un quadrilatère peut, par exemple, avoir des diagonales perpendiculaires sans être un losange. C'est notamment le cas d'un cerf-volant convexe. Pour conclure qu'une figure est un losange à partir de cette propriété, il faut également démontrer qu'il s'agit d'un parallélogramme.

Le carré possède toutes les propriétés du losange, mais il présente une caractéristique supplémentaire : ses quatre angles sont droits. Il constitue donc un cas particulier de losange. Dans l'usage courant, une telle figure est toutefois appelée simplement « carré ».

Formules du losange

Les formules suivantes permettent de calculer facilement les principales grandeurs géométriques d'un losange.

• Périmètre
  Le périmètre d'un losange est égal à quatre fois la longueur de l'un de ses côtés. $$ P = 4 \cdot l $$
• Aire
  L'aire d'un losange est égale au produit des longueurs de ses diagonales, notées d et m, divisé par deux. $$ A = \frac{d \cdot m}{2} $$ Comme le losange est aussi un parallélogramme, son aire peut également être calculée en multipliant la longueur d'un côté, notée l, par la hauteur correspondante, notée h. $$ A = l \cdot h $$
• Longueur d'un côté
  La longueur d'un côté peut être déterminée à l'aide du théorème de Pythagore. En effet, les demi-diagonales et un côté du losange forment un triangle rectangle. $$ l = \sqrt{ \left( \frac{d}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{2} \right)^2 } $$
• Grande diagonale
  La longueur de la grande diagonale se déduit directement de la relation précédente. $$ d = 2 \cdot \sqrt{ l^2 - \left(\frac{m}{2}\right)^2 } $$
• Petite diagonale
  De la même manière, on obtient la formule de la petite diagonale. $$ m = 2 \cdot \sqrt{ l^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 } $$

  Démonstration. Les formules de la grande et de la petite diagonale se déduisent directement du théorème de Pythagore. Pour déterminer la grande diagonale, on part de la formule donnant la longueur d'un côté : $$ l = \sqrt{ \left( \frac{d}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{2} \right)^2 } $$ On élève les deux membres au carré : $$ l^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{2} \right)^2 $$ On soustrait ensuite le terme \( \left( \frac{m}{2} \right)^2 \) des deux membres : $$ l^2 - \left( \frac{m}{2} \right)^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 $$ En prenant la racine carrée des deux membres, et puisque d représente une longueur, on retient uniquement la racine positive : $$ \frac{d}{2} = \sqrt{ l^2 - \left( \frac{m}{2} \right)^2 } $$ Il suffit enfin de multiplier les deux membres par 2 : $$ 2 \cdot \frac{d}{2} = 2 \cdot \sqrt{ l^2 - \left( \frac{m}{2} \right)^2 } $$ On obtient ainsi : $$ d = 2 \cdot \sqrt{ l^2 - \left( \frac{m}{2} \right)^2 } $$ La formule de la petite diagonale se déduit de la même façon. À partir de $$ l^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{2} \right)^2 $$ on obtient successivement : $$ l^2 - \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \left( \frac{m}{2} \right)^2 $$ $$ \frac{m}{2} = \sqrt{ l^2 - \left( \frac{d}{2} \right)^2 } $$ puis : $$ 2 \cdot \frac{m}{2} = 2 \cdot \sqrt{ l^2 - \left( \frac{d}{2} \right)^2 } $$ On obtient finalement : $$ m = 2 \cdot \sqrt{ l^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 } $$

Comment construire un losange

Supposons que l'on souhaite construire un losange dont la grande diagonale mesure 6 unités et la petite diagonale 4 unités.

Commencez par tracer un segment AB de 6 unités. Ce segment représentera la grande diagonale du losange.

Construisez ensuite la médiatrice du segment AB, c'est-à-dire la droite perpendiculaire à AB passant par son milieu.

Ouvrez le compas à une distance légèrement supérieure à la moitié du segment AB. Placez sa pointe sur le point A, puis tracez deux arcs de cercle de part et d'autre du segment.

Sans modifier l'ouverture du compas, répétez l'opération à partir du point B. Les nouveaux arcs coupent les précédents en deux points distincts.

Tracez une droite passant par ces deux points d'intersection. Cette droite est la médiatrice du segment AB.

Le point où elle coupe le segment AB est le milieu M de la grande diagonale du losange.

Il reste maintenant à construire la petite diagonale.

Placez la pointe du compas en M, réglez son ouverture sur la moitié de la petite diagonale, soit 2 unités, puis marquez deux points sur la médiatrice, de part et d'autre de M.

Ces deux points sont les extrémités C et D de la petite diagonale.

Pour terminer la construction, reliez chaque extrémité de la grande diagonale aux deux extrémités de la petite diagonale. Tracez donc les segments AC, AD, BC et BD.

On obtient ainsi un losange dont les quatre côtés sont de même longueur et dont les diagonales sont perpendiculaires. Dans cet exemple, la grande diagonale mesure 6 unités et la petite diagonale 4 unités.

Remarques complémentaires

Les propriétés suivantes permettent de reconnaître un losange sous différents points de vue. Elles sont particulièrement utiles pour résoudre des exercices de géométrie et démontrer qu'un quadrilatère est un losange.

• Un parallélogramme est un losange s'il possède deux côtés consécutifs de même longueur

  Démonstration. Soit ABCD un parallélogramme. Ses côtés opposés étant de même longueur, on a AB≅CD et AD≅BC. Supposons maintenant que deux côtés consécutifs, par exemple AB et BC, soient également de même longueur : AB≅BC. Par transitivité, on obtient AB≅AD et BC≅CD. Les quatre côtés du parallélogramme sont donc de même longueur. Par définition, ABCD est un losange.

• Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et bissectrices de ses angles

  Démonstration. Considérons un losange ABCD dont les diagonales AC et BD se coupent en leur milieu au point M. Nous allons montrer qu'elles sont perpendiculaires et que chacune partage deux angles opposés en deux angles égaux.
  
  Les quatre côtés du losange étant de même longueur, le triangle ACD est un triangle isocèle, puisque AD≅CD. De plus, M est le milieu de AC, car les diagonales d'un parallélogramme se coupent toujours en leur milieu. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est également une hauteur et une bissectrice. Le segment DM est donc perpendiculaire à AC et partage l'angle ADC en deux angles égaux.
  Le même raisonnement s'applique au triangle ABC, lui aussi isocèle puisque AB≅BC. Le segment BM est alors simultanément médiane, hauteur et bissectrice. Comme les points B, M et D sont alignés, on en déduit que la diagonale BD est perpendiculaire à la diagonale AC et qu'elle est la bissectrice des angles situés aux sommets B et D.
  
  Considérons maintenant le triangle ABD. Il est également isocèle, puisque AB≅AD. Comme M est le milieu de BD, le segment AM est la médiane issue du sommet A. Dans un triangle isocèle, cette médiane est aussi une hauteur et une bissectrice. Le segment AM est donc perpendiculaire à BD et partage l'angle DAB en deux angles égaux. Le même raisonnement s'applique au triangle BCD, isocèle puisque BC≅CD. On conclut ainsi que la diagonale AC est la bissectrice des angles aux sommets A et C et qu'elle est perpendiculaire à la diagonale BD.
  

• Un parallélogramme est un losange si ses diagonales sont perpendiculaires

  Démonstration. Soit ABCD un parallélogramme dont les diagonales AC et BD sont perpendiculaires. Elles se coupent en leur milieu au point M ; on a donc AM≅CM et BM≅DM.
  
  Les triangles rectangles AMD et CMD possèdent un côté commun, DM, un deuxième côté de même longueur (AM≅CM) et un angle droit en M. Ils sont donc congruents d'après le premier critère de congruence des triangles. Il en résulte que leurs hypoténuses AD et CD sont de même longueur. Le parallélogramme possède donc deux côtés consécutifs égaux. Or un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Ainsi, ABCD est un losange.

• Un parallélogramme est un losange si l'une de ses diagonales est la bissectrice d'un angle

  Démonstration. Considérons un parallélogramme ABCD et supposons que la diagonale AC partage l'angle A en deux angles de même mesure. Les angles α' et α'' sont donc congruents.
  
  Comme AD est parallèle à BC, la diagonale AC est une sécante à ces deux droites. D'après le théorème des droites parallèles, les angles alternes-internes α'' et γ sont égaux. Puisque α'≅α'', on obtient également α'≅γ.
  
  Le triangle ABC possède donc deux angles égaux. Il est par conséquent isocèle, ce qui implique que AB≅BC. Le parallélogramme possède ainsi deux côtés consécutifs de même longueur. On conclut donc qu'il s'agit d'un losange.

• Chaque diagonale partage le losange en deux triangles isocèles congruents

  Démonstration. Les quatre côtés d'un losange étant de même longueur, la diagonale AC partage la figure en deux triangles, ACD et ABC. Le triangle ACD est isocèle puisque AD≅CD, tandis que le triangle ABC est isocèle puisque AB≅BC. Les deux triangles possèdent en outre le côté AC en commun. Ils sont donc congruents selon le troisième critère de congruence des triangles (côté-côté-côté).
  
  Le même raisonnement s'applique à la diagonale BD, qui partage le losange en deux triangles isocèles, ABD et BCD. Comme leurs côtés correspondants sont de même longueur et qu'ils ont le côté BD en commun, ils sont également congruents selon le troisième critère de congruence (côté-côté-côté).
  

• Les diagonales partagent le losange en quatre triangles rectangles congruents

  Démonstration. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu au point M. Les quatre triangles AMD, ABM, BCM et CDM sont donc des triangles rectangles.
  Les triangles AMD et CDM sont congruents, car ils possèdent le côté DM en commun, les côtés AM et CM de même longueur et un angle droit en M. De la même manière, les triangles ABM et BCM sont congruents.
  
  Enfin, les triangles AMD et ABM sont eux aussi congruents : AD≅AB, DM≅BM et AM est commun aux deux triangles. D'après le troisième critère de congruence (côté-côté-côté), ils sont superposables. Par transitivité, les quatre triangles rectangles issus des diagonales sont congruents : AMD≅ABM≅BCM≅CDM.
  

Ces différentes propriétés montrent qu'il existe plusieurs façons de caractériser un losange. Selon les données disponibles dans un problème, chacune d'elles peut servir de point de départ pour démontrer qu'un quadrilatère est un losange ou pour établir de nouvelles propriétés géométriques.