Le cerf-volant en géométrie

Un cerf-volant est un quadrilatère dont les côtés sont répartis en deux paires de côtés consécutifs de même longueur. Cette figure géométrique peut être convexe ou concave.

La caractéristique essentielle d'un cerf-volant est la présence de deux paires de côtés consécutifs de même longueur. Il possède également une paire d'angles opposés de même mesure, ceux qui sont formés par les côtés de longueurs différentes.

Les diagonales d'un cerf-volant présentent une propriété remarquable : elles sont perpendiculaires. De plus, la diagonale correspondant à l'axe de symétrie est la médiatrice de l'autre diagonale. Elle la coupe donc à angle droit en son milieu, en deux segments de même longueur.

Dans la figure ci-dessus, la diagonale AC est coupée en son milieu par l'autre diagonale. Les deux diagonales sont perpendiculaires. Les angles opposés α et γ ont la même mesure. Les côtés AD et CD sont de même longueur, tout comme les côtés AB et BC.

En résumé, un cerf-volant possède les propriétés suivantes :

• La diagonale qui constitue l'axe de symétrie est la bissectrice des deux angles situés à ses extrémités.
• Les diagonales sont perpendiculaires et l'une d'elles coupe l'autre en son milieu.
• Une paire d'angles opposés est de même mesure.
• Le quadrilatère possède un unique axe de symétrie reliant deux sommets opposés.

Les différents types de cerfs-volants

Selon leur forme, on distingue deux types de cerfs-volants.

• Cerf-volant convexe
  Dans un cerf-volant convexe, tous les angles intérieurs sont inférieurs à 180°. Les deux diagonales sont entièrement situées à l'intérieur du quadrilatère et se coupent en un point intérieur.
  
• Cerf-volant concave, ou pointe de flèche
  Un cerf-volant concave possède un angle rentrant supérieur à 180°. Dans ce cas, le point d'intersection des droites portant les diagonales est situé à l'extérieur du quadrilatère. Cette figure est également connue sous le nom de pointe de flèche.
  

Formules

Les formules suivantes permettent de calculer les principales grandeurs d'un cerf-volant convexe.

• Aire
  Les diagonales étant perpendiculaires, l'aire d'un cerf-volant est égale à la moitié du produit de leurs longueurs : $$ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$ où d₁ et d₂ représentent les longueurs des deux diagonales.
• Périmètre
  Si l₁ et l₂ désignent les deux longueurs distinctes des côtés, le périmètre est donné par : $$ P = l_1 + l_1 + l_2 + l_2 $$ soit, sous forme simplifiée : $$ P = 2 \cdot l_1 + 2 \cdot l_2 $$

Remarques complémentaires

Voici quelques informations utiles pour mieux comprendre les propriétés du cerf-volant et le distinguer d'autres quadrilatères.

• Le losange est un cas particulier de cerf-volant convexe
  Un losange est un cerf-volant convexe dont les quatre côtés sont de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et constituent ses deux axes de symétrie.
  
• Le cerf-volant ne doit pas être confondu avec le parallélogramme quelconque
  Un parallélogramme quelconque possède deux paires de côtés opposés parallèles et de même longueur. Dans un cerf-volant, en revanche, ce sont les côtés consécutifs qui sont égaux. Il s'agit donc de deux familles de quadrilatères aux propriétés différentes.
  
• Différences entre cerf-volant, deltoïde et pointe de flèche
  Les termes « cerf-volant », « deltoïde » et « pointe de flèche » sont parfois employés de manière interchangeable, mais ils ne recouvrent pas exactement les mêmes notions.
  • Cerf-volant : c'est le terme privilégié en géométrie plane et dans l'enseignement français pour désigner un quadrilatère ayant deux paires de côtés consécutifs de même longueur. Il peut être convexe ou concave.
  • Deltoïde : ce mot est parfois utilisé comme synonyme de cerf-volant. Toutefois, en mathématiques, il désigne principalement la courbe deltoïde, aussi appelée hypocycloïde tricuspide, qui est une courbe plane sans lien avec les quadrilatères. Afin d'éviter toute ambiguïté, le terme cerf-volant est généralement recommandé lorsqu'il est question de cette figure géométrique.
  • Pointe de flèche : lorsqu'un cerf-volant est concave et présente un angle rentrant supérieur à 180°, il est couramment appelé pointe de flèche. Cette appellation souligne sa forme non convexe.

Et ainsi de suite.