Triangle

Un triangle est un polygone composé de trois côtés et de trois angles.

Description générale

Le triangle est l'une des figures les plus importantes de la géométrie euclidienne. Il est formé par trois segments reliant trois points distincts qui ne sont pas alignés.

Les trois points qui définissent le triangle sont appelés sommets. Ils sont généralement notés A, B et C.

On appelle sommet opposé à un côté le sommet qui n'appartient pas à ce côté.

Lorsque deux côtés se rencontrent, ils forment un angle intérieur. Chaque triangle possède donc trois angles intérieurs.

Un angle est dit adjacent à un côté lorsque son sommet correspond à l'une des extrémités de ce côté et que l'un de ses côtés est confondu avec celui-ci.

Par exemple, l'angle β est adjacent à la fois au côté AB et au côté BC.

 

Chaque côté d'un triangle est ainsi associé à deux angles adjacents.

Dans l'exemple suivant, les angles α et β sont adjacents au côté AB.

Un angle est appelé angle opposé à un côté lorsqu'il n'est pas adjacent à ce côté.

Par exemple, l'angle γ est opposé au côté AB.

 

Quelle que soit sa forme ou sa taille, la somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180°.

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180° $$

À chaque angle intérieur correspond un angle extérieur.

Le mot « triangle » provient de racines grecques signifiant « trois » et « angle ». Cette figure géométrique joue un rôle essentiel dans de nombreux domaines scientifiques. Elle est notamment au cœur de la trigonométrie, discipline qui étudie les relations entre les côtés et les angles des triangles.

Types de triangles

Les triangles peuvent être classés selon leurs côtés ou selon leurs angles. Cette classification permet de mieux comprendre leurs propriétés géométriques.

Classification selon les côtés :

• Triangle équilatéral
  Un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur. Ses trois angles intérieurs sont également égaux et mesurent chacun 60 degrés.
  
• Triangle isocèle
  Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Les deux angles situés à la base ont alors la même mesure.
  

  

• Triangle scalène
  Un triangle scalène possède trois côtés de longueurs différentes. Ses trois angles ont donc également des mesures différentes.
  

Classification selon les angles :

• Triangle acutangle
  Un triangle acutangle possède trois angles intérieurs strictement inférieurs à 90 degrés.
  
• Triangle obtusangle
  Un triangle obtusangle possède un angle intérieur strictement supérieur à 90 degrés.
  
• Triangle rectangle
  Un triangle rectangle possède un angle droit de 90 degrés. Il s'agit d'une figure fondamentale en géométrie et en trigonométrie.
  

  Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés cathètes, tandis que le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.

Formules du triangle

Plusieurs formules permettent de calculer les principales caractéristiques d'un triangle.

• Aire
  L'aire (A) d'un triangle est égale au produit de la base (b) par la hauteur (h), divisé par deux : $$ A = \frac{\text{b} \cdot \text{h}}{2} $$

  Lorsque seules les longueurs des côtés sont connues, il est possible d'utiliser la formule de Héron : $$ A = \sqrt{p(p-l_1)(p-l_2)(p-l_3)} $$ où \( l_1 \), \( l_2 \) et \( l_3 \) représentent les longueurs des côtés, et \( p = \frac{l_1+l_2+l_3}{2} \) correspond au demi-périmètre du triangle.

• Périmètre
  Le périmètre (P) d'un triangle est obtenu en additionnant les longueurs de ses trois côtés : $$ P = a + b + c $$ où a, b et c représentent les longueurs des côtés.

Les triangles isocèles et équilatéraux possèdent également des formules spécifiques permettant de calculer leur aire et leur périmètre de manière directe.

Centres remarquables du triangle

Les triangles possèdent plusieurs centres remarquables qui permettent de mieux comprendre leur géométrie. Les plus connus sont le centre de gravité, l'orthocentre, l'incentre et le circoncentre.

• Orthocentre
  L'orthocentre est le point d'intersection des trois hauteurs du triangle.
  

  Remarque : Tout triangle possède trois hauteurs. Selon le type de triangle, l'orthocentre peut se trouver à l'intérieur du triangle, à l'extérieur ou sur l'un de ses sommets. Dans un triangle obtusangle, il est situé à l'extérieur. Dans un triangle acutangle, il se trouve à l'intérieur. Dans un triangle rectangle, il coïncide avec le sommet de l'angle droit.

• Centre de gravité
  Le centre de gravité, ou barycentre, est le point d'intersection des trois médianes du triangle. Il est toujours situé à l'intérieur du triangle.
  
• Incentre
  L'incentre est le point d'intersection des trois bissectrices des angles intérieurs. Équidistant des trois côtés, il constitue le centre du cercle inscrit.
  
• Circoncentre
  Le circoncentre est le point d'intersection des trois médiatrices des côtés. Équidistant des trois sommets, il constitue le centre du cercle circonscrit au triangle.
  

 

L'orthocentre, le centre de gravité et le circoncentre sont alignés sur une même droite remarquable appelée droite d'Euler. Le centre du cercle des neuf points appartient également à cette droite.

Propriétés du triangle

Le triangle possède de nombreuses propriétés géométriques fondamentales. Voici quelques-unes des plus importantes.

• La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°
  Quelle que soit sa forme, les trois angles intérieurs d'un triangle forment toujours un angle plat : $$ \alpha + \beta + \gamma = 180° $$

  

• La somme de deux angles intérieurs est toujours inférieure à 180°
  Dans tout triangle, la somme de deux angles intérieurs quelconques est toujours strictement inférieure à 180°.
  
• Tout triangle possède au moins deux angles aigus
  Un triangle ne peut comporter qu'un seul angle droit ou un seul angle obtus. Par conséquent, il possède nécessairement au moins deux angles aigus.

  Démonstration. Si un triangle possède un angle droit de 90°, les deux autres angles doivent avoir une somme égale à 90° et sont donc aigus. Si le triangle possède un angle obtus, les deux autres angles ont une somme inférieure à 90° et sont également aigus. Ainsi, tout triangle comporte au moins deux angles aigus.

• Théorème de l'angle extérieur
  Tout angle extérieur (β_e) d'un triangle est strictement supérieur à chacun des deux angles intérieurs non adjacents (α et γ).
  
• Théorème de Pythagore
  Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux cathètes.
• Tout triangle admet un cercle inscrit
  Les bissectrices des angles intérieurs sont toujours concourantes en un point unique appelé incentre. Ce point est équidistant des côtés du triangle et constitue le centre du cercle inscrit.
  
• Tout triangle admet un cercle circonscrit
  Les médiatrices des côtés sont toujours concourantes en un point unique appelé circoncentre. Ce point est équidistant des sommets du triangle et constitue le centre du cercle circonscrit.
  

  Remarque : Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité, l'orthocentre, l'incentre et le circoncentre sont confondus en un même point.
  
  Le centre de gravité partage chaque médiane selon le rapport 2:1. Il en résulte que les rayons du cercle inscrit (r) et du cercle circonscrit (R) vérifient la relation : $$ R = 2r $$ soit : $$ r = \frac{R}{2} $$

• Tout triangle possède un unique centre de gravité
  Les trois médianes d'un triangle se coupent toujours en un point unique appelé centre de gravité ou barycentre. Ce point correspond au centre d'équilibre géométrique du triangle.
• Le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de sa longueur
  Le segment $ED$, qui relie les milieux des côtés $AB$ et $BC$, est parallèle au troisième côté $AC$ et mesure exactement la moitié de sa longueur.
  
• Théorème du triangle isocèle
  Dans un triangle ayant deux côtés de même longueur, les angles opposés à ces côtés sont également égaux.

  Exemple. Dans un triangle isocèle, l'égalité de deux côtés entraîne celle des angles à la base. La hauteur issue du sommet opposé à la base constitue un axe de symétrie et partage le triangle en deux triangles rectangles congruents.
  

Ces propriétés ne représentent qu'une partie des nombreuses caractéristiques qui font du triangle l'une des figures les plus étudiées et les plus importantes de la géométrie euclidienne.