Théorème de la parallèle dans un triangle
Lorsqu’une droite est parallèle à l’un des côtés d’un triangle, elle coupe les deux autres côtés et les partage en segments proportionnels.
Ce résultat classique de la géométrie euclidienne découle directement du théorème de Thalès. Il intervient dans de nombreuses situations, aussi bien théoriques que pratiques.
En termes simples, une droite parallèle conserve les rapports de longueurs. Les segments obtenus sur les côtés du triangle restent donc dans la même proportion.
Cette propriété joue un rôle central dans l’étude de la similitude des triangles, mais également dans la résolution de problèmes de mesure indirecte.
Réciproque du théorème
Si une droite coupe deux côtés d’un triangle et crée des segments proportionnels, alors cette droite est parallèle au troisième côté.
On dispose ainsi d’un critère géométrique efficace pour établir le parallélisme. Une simple comparaison de rapports suffit pour conclure.
Remarque. Ce principe est omniprésent en géométrie plane. Il permet de démontrer des propriétés, de simplifier des constructions et d’analyser des configurations impliquant des triangles semblables. Il s’inscrit dans le cadre plus général de la théorie des proportions et se prolonge dans des domaines avancés, notamment en géométrie projective.
Un exemple pratique
Considérons un triangle ABC dont les longueurs des côtés sont connues.
Supposons que AB = 4, BC = 5 et AC = 3. Traçons une droite parallèle au côté AB, qui coupe AC en D et BC en E.
- Le segment AC est partagé en AD = 1 et DC = 2.
- Le segment BC est partagé en BE = 1,67 et EC = 3,33.
D’après le théorème de Thalès, les rapports des segments correspondants sont égaux :
$$ \frac{ \overline{AD} }{ \overline{DC} } = \frac{ \overline{BE} }{ \overline{EC} } $$
En remplaçant par les valeurs numériques :
$$ \frac{1}{2} = \frac{1.6\overline{7}}{3.\overline{33}} $$
$$ 0.5 = 0.5 $$
Les rapports coïncident. Les segments sont bien proportionnels, ce qui illustre concrètement le théorème.
Démonstration du théorème
La démonstration s’appuie sur le théorème de Thalès appliqué à un faisceau de droites parallèles.
Prenons un triangle quelconque ABC.
Traçons une droite r parallèle à AB, coupant AC en D et BC en E.
Considérons ensuite une seconde droite s, également parallèle à AB, passant par le sommet opposé.
Les droites AB, r et s forment un faisceau de parallèles, coupé par les transversales AC et BC.
Selon le théorème de Thalès, les segments interceptés sont proportionnels :
$$ AD:DC = BE:EC $$
La propriété est ainsi établie.
Démonstration de la réciproque
La réciproque découle du théorème de Thalès réciproque.
Si une droite partage deux côtés d’un triangle en segments proportionnels, alors elle est nécessairement parallèle au troisième côté.
On obtient ainsi un critère réciproque du parallélisme.
