Théorème de la bissectrice dans un triangle

La bissectrice d'un angle intérieur d'un triangle partage le côté opposé en deux segments dont les longueurs sont proportionnelles à celles des deux autres côtés du triangle. $$ \overline{BD} : \overline{CD} = \overline{AB} : \overline{AC} $$ Schéma illustrant le théorème de la bissectrice dans un triangle

Autrement dit, dans un triangle ABC, si l'on trace la bissectrice de l'angle au sommet A et qu'elle coupe le côté BC en D, alors les segments BD et CD sont dans le même rapport que les côtés AB et AC.

Écriture mathématique :

$$ \overline{AB} : \overline{AC} = \overline{BD} : \overline{CD} $$

ou, sous forme de quotient :

$$ \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{BD}}{\overline{CD}} $$

Ce théorème constitue un outil fondamental en géométrie. Il permet d'établir simplement des relations métriques entre des segments lorsque certaines longueurs ou certains angles sont connus.

Réciproque : si un point partage un côté d'un triangle en deux segments proportionnels aux deux autres côtés, alors le segment reliant ce point au sommet opposé est la bissectrice de l'angle correspondant.

Exemple pratique
Démonstration

Exemple pratique

Considérons un triangle dont les côtés mesurent : AB = 4, BC = 5 et AC = 3.

Triangle ABC avec les longueurs AB = 4, BC = 5 et AC = 3

Traçons la bissectrice de l'angle au sommet A.

Bissectrice issue du sommet A intersectant BC en D

La bissectrice coupe le côté BC en D et le partage en deux segments : BD = 2.86 et CD = 2.14.

Calculons leur rapport :

$$ \frac{\overline{BD}}{\overline{CD}} = \frac{2.86}{2.14} \approx 1.33 $$

Comparons avec le rapport des côtés adjacents :

$$ \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{4}{3} \approx 1.33 $$

Les deux valeurs coïncident. Les segments BD et CD sont donc proportionnels aux côtés AB et AC, conformément au théorème.

Démonstration

Soit ABC un triangle quelconque.

Triangle ABC arbitraire

Traçons la bissectrice de l'angle $\hat{A}$. Elle coupe le côté BC en D et détermine les segments BD et CD.

Par définition, la bissectrice partage l'angle A en deux angles égaux : $\alpha' \cong \alpha''$.

Bissectrice de l'angle A dans le triangle

Nous cherchons à démontrer que :

$$ BD : CD = AB : AC $$

Traçons par le sommet C une droite r parallèle à AD.

Droite r passant par C et parallèle à AD

Prolongeons BA jusqu'à son intersection avec la droite r en un point E.

On obtient ainsi le triangle EBC, à l'intérieur duquel se trouve le triangle EAC.

Triangle EBC issu de la construction géométrique

Puisque AD est parallèle à EC, la droite AD partage les deux autres côtés du triangle EBC en segments proportionnels, d'après le théorème de la droite parallèle à un côté d'un triangle :

$$ BD : CD = AB : AE $$

Les angles $\alpha''$ et $\beta''$ sont alternes internes par rapport aux parallèles AD et EC, coupées par la transversale AC. Ils sont donc congruents :

$$ \alpha'' \cong \beta'' $$

De même, les angles $\alpha'$ et $\beta'$ sont correspondants et congruents :

$$ \alpha' \cong \beta' $$

Comme $\alpha' \cong \alpha''$, il en résulte que $\beta' \cong \beta''$. Le triangle EAC est donc isocèle, de base EC.

Triangle EAC isocèle démontré par l'égalité des angles

On en déduit :

$$ \overline{EA} \cong \overline{AC} $$

Reprenons la proportion obtenue :

$$ BD : CD = AB : AE $$

Or, puisque $AE = AC$, on obtient :

$$ BD : CD = AB : AC $$

La relation recherchée est ainsi démontrée.

Par conséquent, les segments BD et CD, déterminés par la bissectrice de l'angle A, sont proportionnels aux côtés adjacents AB et AC.

Proportionnalité entre BD, CD et les côtés AB, AC du triangle ABC

Remarque : le théorème de la droite parallèle à un côté d'un triangle découle du théorème de Thalès. Le théorème de la bissectrice peut donc être interprété comme une conséquence de celui-ci.

Et ainsi de suite.