Géométrie

La géométrie est l'une des disciplines centrales des mathématiques. Elle étudie les figures du plan et de l'espace, et cherche à comprendre les relations qui organisent leurs formes, leurs dimensions et leurs propriétés.

Le terme « géométrie » vient du grec ancien « γεωμετρία », qui signifie « mesure de la terre ». Cette étymologie rappelle que la discipline est d'abord née d'activités très concrètes liées à la mesure et à la délimitation des espaces.

Note. Le mot associe « Geo » (terre) et « metria » (mesure). La géométrie était donc à l'origine l'art de mesurer, avant de devenir une science de la forme et de l'espace.

Histoire de la géométrie

À l'origine, la géométrie répondait à des besoins pratiques. Dans l'Égypte ancienne, elle permettait par exemple de redéfinir les limites des terres agricoles après les crues du Nil, qui effaçaient régulièrement les repères établis.

Note. Ces crues modifiaient la forme et l'étendue des parcelles. Pour restaurer les limites et calculer les impôts, les scribes avaient besoin de techniques de mesure fiables. C'est là que s'exprime le sens premier du mot « géométrie ».

Les Babyloniens l'appliquaient surtout à l'astronomie, tandis que les Phéniciens l'utilisaient pour la navigation et l'orientation en mer.

À ses débuts, la géométrie reposait sur une démarche inductive. On observait des configurations régulières, on proposait des conjectures, mais sans véritable démonstration.

À partir du VIᵉ siècle av. J.-C., la pensée grecque transforme profondément la discipline. Les figures deviennent des objets idéaux que l'on étudie par la logique et non plus seulement par la mesure.

Cette nouvelle approche fonde une méthode déductive, ou axiomatique, dans laquelle chaque résultat doit être démontré à partir de principes clairement posés. C'est à ce moment que naît la géométrie rationnelle.

L'usage systématique de la règle et du compas structure les constructions et les démonstrations. La géométrie grecque devient ainsi un socle pour d'autres domaines, comme l'astronomie, l'optique, la mécanique ou la cartographie.

Parmi les figures marquantes de cette période, on retrouve Thalès, Pythagore, Platon, Aristote et surtout Euclide.

Au IIIᵉ siècle av. J.-C., Euclide rassemble et ordonne l'ensemble du savoir géométrique disponible dans son œuvre monumentale : « Les Éléments ».

Ce texte, remarquable par sa rigueur et son organisation, restera pendant plus de deux millénaires la référence pour l'étude de la géométrie. Une grande partie de ses idées demeure aujourd'hui présente dans l'enseignement moderne.

Note. « Les Éléments » constituent l'un des premiers systèmes axiomatiques complets. À partir de notions premières et d'axiomes simples, Euclide déduit progressivement des propositions et des théorèmes qui forment un ensemble cohérent.

Géométrie rationnelle ou géométrie euclidienne

La géométrie rationnelle, que l'on appelle couramment géométrie euclidienne, s'appuie sur un ensemble structuré de définitions, de notions primitives, de postulats et de théorèmes démontrés.

Ce cadre, posé par Euclide, sert encore aujourd'hui de base pour comprendre les propriétés des figures du plan et de l'espace. C'est la géométrie étudiée dans la majorité des cursus scolaires et universitaires.

Note. Ce système fournit un vocabulaire précis et des règles claires pour étudier les distances, les angles, les grandeurs et les relations entre les figures.

Dans le Livre I des « Éléments », Euclide introduit 23 définitions qui posent les notions essentielles : le point, la ligne, la surface, etc.

Il énonce ensuite 5 postulados et 5 « notions communes », considérées comme des principes évidents permettant de fonder tout le raisonnement géométrique.

Voici les « notions communes » :

• Des choses égales à une même chose sont égales entre elles.
• Si l'on ajoute une même quantité à des choses égales, on obtient des résultats égaux.
• Si l'on retranche une même quantité de choses égales, les différences restent égales.
• Des choses qui coïncident sont égales.
• Le tout est supérieur à chacune de ses parties.

Les cinq postulats d'Euclide sont :

• Entre deux points, on peut toujours tracer une ligne droite.
• Une ligne droite peut être prolongée sans limite.
• Avec un segment comme rayon et un point de ce segment comme centre, on peut tracer un cercle.
• Tous les angles droits sont égaux.
• Si deux droites coupent une troisième et que la somme des angles intérieurs d'un même côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux droites finissent par se rencontrer lorsqu'on les prolonge.

Géométrie analytique

La géométrie analytique établit un lien direct entre géométrie et algèbre. Elle représente les points et les figures grâce à des systèmes de coordonnées.

Cette méthode permet d'exprimer les figures au moyen d'équations et facilite des calculs qui seraient difficiles à effectuer uniquement avec des constructions géométriques : distances, angles, intersections, pentes.

Introduite par Descartes et Fermat, elle transforme les problèmes géométriques en problèmes algébriques. Cette idée simple mais puissante constitue aujourd'hui l'un des fondements des mathématiques modernes et des sciences appliquées.