Postulats

Les postulats, ou axiomes, sont des propositions que l'on admet comme vraies sans démonstration. Ils constituent les bases sur lesquelles repose tout système logique ou mathématique. Sans eux, il serait impossible de bâtir des théorèmes ou de développer une théorie cohérente.

Le mot « postulat » vient du latin « postulatum », qui signifie « ce que l'on demande d'admettre ». Il s'agit donc d'énoncés posés au départ pour permettre au raisonnement de se déployer.

Exemple de postulat

Prenons un exemple classique, tiré de la géométrie euclidienne :

Le premier postulat d'Euclide affirme : « On peut tracer une ligne droite reliant deux points quelconques. »

Pour deux points distincts A et B, Euclide pose donc comme principe qu'il existe toujours une droite unique qui les relie.

C'est une idée simple, admise telle quelle, mais qui sert de fondement à toute la géométrie classique. Elle permet, par exemple, de construire des segments, d'étudier la position des points ou encore de démontrer des propriétés plus complexes.

Distinction entre postulats et axiomes

Dans l'Antiquité grecque, « postulat » et « axiome » ne désignaient pas exactement la même chose. La nuance est intéressante pour comprendre l'évolution des mathématiques.

• Le postulat était une proposition acceptée sans preuve pour servir de point de départ. Les postulats d'Euclide sont l'exemple le plus connu.

  Note : Pour les stoïciens, un postulat était simplement un énoncé susceptible d'être vrai ou faux. Il ne représentait pas forcément une vérité évidente.

• L'axiome désignait une vérité considérée comme évidente et universelle, un principe fondamental que l'on ne remet pas en question.

  Exemple : Le « principe de non-contradiction » d'Aristote stipule qu'une proposition et sa négation ne peuvent être vraies en même temps. Ce principe est l'un des piliers de la logique classique, précisément parce qu'il s'impose comme une évidence directe.

Au fil des siècles, cette distinction a progressivement perdu de son importance. Jusqu'au XVIIIᵉ siècle, les axiomes étaient encore vus comme des vérités auto-évidentes. Mais avec l'apparition des géométries non euclidiennes, l'idée que les axiomes doivent être « évidents » a été abandonnée.

À partir de la fin du XIXᵉ siècle, « axiome » et « postulat » ont commencé à être employés comme des synonymes. Aujourd'hui, ils désignent généralement des propositions de base, non déduites d'autres énoncés, qui définissent la structure d'un système logique ou mathématique.

Ces énoncés sont adoptés pour leur cohérence interne et leur utilité dans la construction d'un système. Ils n'ont plus besoin d'être « évidents » en eux-mêmes, mais simplement compatibles entre eux et suffisamment puissants pour fonder une théorie.

Et ainsi de suite.