Surfaces équivalentes

On dit que deux surfaces A et B sont équivalentes lorsqu’elles ont la même étendue, autrement dit la même aire. $$ A \doteq B $$

Dans la géométrie euclidienne du plan, cette idée se réduit à une égalité très simple: deux surfaces sont équivalentes si leurs aires coïncident.

$$ \text{Aire}(A) = \text{Aire}(B) $$

C’est une notion intuitive, qui permet de comparer des surfaces sans tenir compte de leur forme.

Par exemple, un carré et un triangle peuvent avoir exactement la même aire. Ils sont alors équivalents, même si leurs formes n’ont rien en commun.

Toutes les surfaces qui partagent la même aire constituent une même classe d’équivalence. On regroupe ainsi des objets très différents autour d’un critère simple: la mesure de leur étendue.

Propriétés des surfaces équivalentes

L’équivalence entre surfaces suit les règles générales des relations d’équivalence. Cela lui confère une structure claire et utile en mathématiques.

• Propriété réflexive
  Une surface est toujours équivalente à elle-même. $$ A \doteq A $$

  

• Propriété symétrique
  Si A est équivalente à B, alors B est équivalente à A. $$ A \doteq B \Leftrightarrow B \doteq A $$

  

• Propriété transitive
  Si A est équivalente à B et B est équivalente à C, alors A est équivalente à C. $$ A \doteq B \ ,\ B \doteq C \Longrightarrow A \doteq C $$

  

Ces trois propriétés ne concernent pas seulement la géométrie. Elles jouent un rôle essentiel dans de nombreux domaines des mathématiques.

Observations supplémentaires

Pour mieux comprendre comment fonctionne cette notion, voici quelques observations classiques dans l’étude des surfaces.

• Postulat de De Zolt
  Il affirme qu’une surface ne peut pas être équivalente à l’une de ses propres parties.

  Exemple. Si une surface S est coupée en deux régions A et B, son aire est la somme des aires de A et B. S ne peut donc être équivalente à aucune de ces deux parties.
  

• Congruence et équivalence
  Deux surfaces congruentes sont forcément équivalentes, car elles se superposent parfaitement et ont donc la même aire.
  
  À l’inverse, deux surfaces peuvent avoir la même aire sans être congruentes. Un triangle et un carré de même aire ne peuvent pas être superposés par une simple isométrie.
  
• Principe d’équidécoupage
  Deux figures équidécoupables peuvent être décomposées en un même nombre de pièces congruentes. Elles possèdent donc nécessairement la même aire, ce qui en fait des surfaces équivalentes.
  
• En partant de deux figures congruentes, le fait d’ajouter ou de retirer des parties congruentes conduit toujours à des surfaces équivalentes. Ce résultat découle directement de la conservation de l’aire lors de découpages et recollements congruents.
• Lorsque deux paires de surfaces sont équivalentes $$ S_1 \doteq S_2 $$ $$ S_3 \doteq S_4 $$, la somme des surfaces reste équivalente. $$ S_1 + S_3 \doteq S_2 + S_4 $$

  Exemple
  

• La même idée vaut pour la différence: si l’on enlève des parties équivalentes à deux surfaces équivalentes, les surfaces obtenues le sont encore. $$ S_1 - S_3 \doteq S_2 - S_4 $$

  Exemple
  

Ces idées montrent que l’équivalence des surfaces est une notion souple et particulièrement utile lorsqu’on cherche à comparer des figures géométriques en termes d’aire.