Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès établit une propriété essentielle de la géométrie plane. Lorsque plusieurs droites parallèles coupent deux droites sécantes r et s, les segments interceptés sur ces droites sont directement proportionnels.  $$ \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'} $$

Concrètement, si l'on repère sur la sécante r deux segments AB et CD, alors la sécante s présente deux segments homologues A'B' et C'D'. Leurs longueurs respectent la même proportion. Autrement dit, le rapport AB/CD est égal au rapport A'B'/C'D'.

$$ \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'} $$

Cette relation exprime une idée simple mais puissante : la structure créée par les parallèles conserve les rapports de longueurs.

On énonce également la réciproque du théorème de Thalès.

Si deux droites r et s sont coupées par plusieurs droites de telle sorte que les segments homologues vérifient $$ \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'} $$ alors les droites responsables de ces intersections sont parallèles.

Le théorème de Thalès et sa réciproque fournissent ainsi des conditions nécessaires et suffisantes pour démontrer le parallélisme à partir d'un critère de proportionnalité.

Ce résultat, attribué traditionnellement à Thalès de Milet, constitue l'un des fondements de la géométrie. Il intervient dans de nombreux raisonnements, aussi bien théoriques qu'appliqués.

Un exemple pratique

Considérons un faisceau de droites parallèles coupant deux droites sécantes r et s.

Dans cette configuration, les segments AB et CD sur r, ainsi que leurs homologues A'B' et C'D' sur s, vérifient :

$$ \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'} $$

Le rapport entre deux longueurs mesurées sur une sécante est donc égal au rapport des longueurs correspondantes sur l'autre.

La réciproque du théorème de Thalès

Si deux paires de segments AB et CD sur une droite r, et A'B' et C'D' sur une droite s, satisfont $$ \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'} $$ et si les droites AA' et BB' sont parallèles, alors les droites CC' et DD' sont également parallèles.

Ce principe permet d'établir le parallélisme à partir d'une égalité de rapports et d'un premier couple de droites parallèles.

Exemple

Prenons les segments AB et CD sur la droite r, ainsi que les segments homologues A'B' et C'D' sur la droite s.

On a :

$$ \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'} $$

et

$$ AA' \parallel BB' $$

Donc :

$$ CC' \parallel DD' $$

Démonstration

Supposons un ensemble de droites parallèles a, b, c, d.

$$ a \parallel b \parallel c \parallel d $$

Deux droites sécantes r et s coupent ces parallèles.

Montrons que, pour toute paire de segments AB et CD sur r, il existe des segments homologues A'B' et C'D' sur s tels que :

$$ \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A'B'}{C'D'} $$

Notons R l'ensemble des segments portés par r et S l'ensemble des segments portés par s :

$$ R = \{ \text{segments sur r} \}, \quad S = \{ \text{segments sur s} \} $$

Chaque point d'intersection sur r admet un point homologue sur s, puisque r et s coupent le même faisceau de parallèles.

Il existe donc une correspondance biunivoque entre les points de r et ceux de s.

Par exemple, A correspond à A', B correspond à B', etc.

Cette correspondance induit une correspondance entre segments homologues : AB correspond à A'B', BC correspond à B'C', etc.

Remarque : Une même famille de parallèles découpe toute sécante selon une organisation homologue.

Deux propriétés assurent alors la proportionnalité :

1. À des segments congruents sur r correspondent des segments congruents sur s.
   
2. L'addition des longueurs est conservée : AB + CD = A'B' + C'D'.
   

Ces propriétés découlent directement de la configuration géométrique.

Par conséquent, les segments homologues sur r et s sont directement proportionnels.

Observations

Quelques corollaires classiques du théorème de Thalès :

• Droite parallèle à un côté d'un triangle
  Si une droite est parallèle à un côté d'un triangle et coupe les deux autres côtés, elle détermine des segments proportionnels. La réciproque est également vraie.

  Exemple : La droite r est parallèle au côté AB et coupe AC et BC.
  
  On obtient : $$ \overline{AD} : \overline{DC} = \overline{BE} : \overline{EC} $$

• Théorème de la bissectrice
  La bissectrice d'un angle d'un triangle partage le côté opposé en segments proportionnels aux côtés adjacents. $$ \overline{BD} : \overline{CD} = \overline{AB} : \overline{AC} $$

Et ainsi de suite.