Faisceau de droites

Qu’est-ce qu’un faisceau de droites ?

En géométrie analytique, un faisceau de droites désigne un ensemble de droites du plan qui partagent une même caractéristique géométrique. Cette notion permet de regrouper et d’étudier des familles entières de droites à l’aide d’équations simples et paramétrées.

On distingue essentiellement deux types de faisceaux : le faisceau propre, constitué de droites passant toutes par un même point, et le faisceau impropre, formé de droites parallèles entre elles.

Faisceau de droites parallèles

Un faisceau de droites parallèles, également appelé faisceau impropre, regroupe toutes les droites du plan qui sont parallèles à une droite fixe r.

L’équation cartésienne d’un faisceau impropre s’écrit sous la forme :

$$ ax + by + c = 0 $$

Les coefficients a et b sont fixés et non nuls. En revanche, le paramètre réel c varie : chaque valeur de c correspond à une droite différente du faisceau.

Remarque : la droite r, à laquelle toutes les autres sont parallèles, correspond elle aussi à une valeur particulière du paramètre c.

Le faisceau peut également être décrit à l’aide de la forme explicite :

$$ y = mx + q $$

Dans cette écriture, toutes les droites ont la même pente m. Elles se distinguent uniquement par la valeur de q, qui détermine leur position verticale.

Si q = 0, la droite passe par l’origine du repère.

Remarque : le terme q représente l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur de y lorsque x = 0.

Une autre manière de décrire les droites du faisceau consiste à utiliser une équation paramétrique :

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

Dans ce cadre, les différentes droites du faisceau sont obtenues en faisant varier le point (x₀, y₀) par lequel elles passent, tandis que le vecteur directeur (l, m) reste le même.

Exemple

Considérons la droite d’équation :

$$ 2x + 3y - 12 = 0 $$

En faisant varier la valeur du paramètre c autour de 12, on obtient une infinité de droites parallèles entre elles. L’ensemble de ces droites constitue un faisceau impropre.

 

Le même faisceau peut aussi être décrit par des équations paramétriques :

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} $$

En faisant varier le point (0, 4), on engendre toutes les droites du faisceau, sans modifier leur direction.

Cette approche est parfaitement cohérente avec la description cartésienne précédente.

Faisceau de droites concourantes

Un faisceau de droites concourantes est constitué de toutes les droites passant par un point fixe du plan, noté A, appelé centre du faisceau.

Lorsque le centre du faisceau a pour coordonnées (x₀, y₀), les droites du faisceau sont décrites par l’équation :

$$ y - y_0 = m \cdot (x - x_0) $$

En faisant varier la pente m sur l’ensemble des réels, on obtient toutes les droites passant par le point A, à l’exception de la droite parallèle à l’axe des y.

Remarque : une droite parallèle à l’axe des y ne peut pas être décrite par une équation explicite du type y = mx + q. Elle est alors définie par l’équation : $$ x = x_0 $$

Le faisceau complet de droites est donc décrit par le système :

$$ \begin{cases} y - y_0 = m \cdot (x - x_0) \\ \\ x = x_0 \ \ \ \text{si la droite est parallèle à l’axe des y} \end{cases} $$

Exemple

Considérons un faisceau de centre :

$$ C = \begin{pmatrix} x_0 = 2 \\ y_0 = 3 \end{pmatrix} $$

Les équations associées à ce faisceau sont alors :

$$ y - 3 = m \cdot (x - 2) $$

$$ x = 2 $$

La première équation décrit toutes les droites de pente variable passant par C, tandis que la seconde correspond à la droite verticale x = 2.

Faisceau de droites comme combinaison linéaire de deux droites

Un faisceau de droites, qu’il soit propre ou impropre, peut aussi être défini à partir de deux droites données, en considérant toutes leurs combinaisons linéaires.

Soient les droites :

$$ r: ax + by + c = 0 $$

$$ s: a'x + b'y + c' = 0 $$

Une combinaison linéaire de ces deux droites s’écrit :

$$ p \cdot (ax + by + c) + q \cdot (a'x + b'y + c') = 0 $$

En divisant par p et en posant $ k = \frac{q}{p} $, on obtient l’écriture équivalente :

$$ ax + by + c + k \cdot (a'x + b'y + c') = 0 $$

Chaque valeur réelle du paramètre k définit une droite différente appartenant au faisceau.

Remarque : cette écriture permet d’obtenir toutes les droites du faisceau, à l’exception de la droite s, qui ne correspond à aucune valeur finie de k.

En regroupant les termes, on obtient l’équation générale du faisceau :

$$ (a + a'k) \cdot x + (b + b'k) \cdot y + c + c'k = 0 $$

La nature du faisceau dépend alors de la position relative des deux droites de départ :

• Faisceau de droites propre
  Les deux droites sont sécantes : $$ \frac{a}{b} \ne \frac{a'}{b'} $$
• Faisceau de droites impropre
  Les deux droites sont parallèles ou confondues : $$ \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} $$

Exemple

Considérons les droites :

$$ r: 3x + 6y + 4 = 0 $$

$$ s: 6x - 4y - 1 = 0 $$

Ces droites sont représentées ci-dessous :

Comme les rapports de leurs coefficients sont différents, les droites sont sécantes et définissent un faisceau propre.

La combinaison linéaire s’écrit alors :

$$ 3x + 6y + 4 + k \cdot (6x - 4y - 1) = 0 $$

$$ (3 + 6k) \cdot x + (6 - 4k) \cdot y + 4 - k = 0 $$

En faisant varier k sur ℝ, on obtient toutes les droites du faisceau, à l’exception de la droite s.