Distance d’un point à une droite

La distance d'un point P à une droite est la longueur du segment qui relie le point P au pied de la perpendiculaire abaissée depuis P sur la droite, noté P'.

Autrement dit, cette distance correspond à la longueur de la projection orthogonale du point sur la droite.

Il s'agit, par définition, du plus court chemin possible entre le point et la droite. Tout autre segment reliant P à un point quelconque de la droite, dès lors qu'il n'est pas perpendiculaire, est nécessairement plus long.

Démonstration

Pour comprendre pourquoi la perpendiculaire fournit la distance minimale, considérons un point A quelconque situé sur la droite et distinct de P'.

Le segment AP, qui relie le point P au point A, est oblique par rapport à la perpendiculaire menée depuis P.

Les points P, P' et A forment alors un triangle rectangle, dont l'hypoténuse est le segment AP.

D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours plus longue que chacun des deux côtés de l'angle droit.

Par conséquent, le segment AP est strictement plus long que le segment PP'. Il ne peut donc pas représenter la distance entre le point P et la droite.

Ce raisonnement s'applique à tout point A de la droite distinct de P'. La distance minimale est donc toujours donnée par la perpendiculaire.

Pour aller plus loin et aborder le calcul de la distance entre un point et une droite à l'aide des méthodes vectorielles, vous pouvez consulter une autre de mes notes universitaires : comment calculer la distance entre un point et une droite à l'aide des vecteurs. La suite de cette page se concentre sur le cadre du plan et sur les bases de la géométrie analytique.

Calcul de la distance entre un point et une droite dans le plan

En géométrie analytique, la distance entre un point P(x₀, y₀) et une droite r du plan est donnée par la formule suivante : $$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Ici, $ ax + by + c = 0 $ est l'équation cartésienne de la droite r, et (x₀, y₀) sont les coordonnées du point P.

Exemple pratique

Considérons la droite définie par l'équation :

$$ 2x + 4y - 6 = 0 $$

et le point A de coordonnées :

$$ A \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Pour mieux visualiser la situation, représentons le point A et la droite dans le plan cartésien.

Quelle est la distance entre le point et la droite ?

On applique la formule de la distance :

$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

En remplaçant les coordonnées du point A, avec x₀ = 3 et y₀ = 2, on obtient :

$$ d = \frac{|a(3) + b(2) + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

On remplace ensuite les coefficients de l'équation de la droite, à savoir a = 2, b = 4 et c = -6 :

$$ d = \frac{|2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{2^2 + 4^2}} $$

Effectuons les calculs pas à pas :

$$ d = \frac{|6 + 8 - 6|}{\sqrt{4 + 16}} $$

$$ d = \frac{8}{\sqrt{20}} $$

$$ d = 1.78 $$

On en conclut que la distance minimale entre le point A et la droite est de 1.78 unités.

Une vérification rapide à l'aide de GeoGebra confirme ce résultat. La distance d correspond au segment AH, perpendiculaire à la droite, d'extrémité A(3, 2), et de longueur approximativement égale à 1.78 unités.

Démonstration

Pour comprendre d’où vient la formule de la distance, considérons une droite d’équation $ ax + by + c = 0 $ et un point quelconque du plan $ P(x_0, y_0) $.

D’un point de vue géométrique, la distance recherchée est la longueur du segment $ \overline{PH} $, perpendiculaire à la droite, qui relie le point P à son projeté orthogonal $ H $ sur cette droite.

Pour faciliter les calculs, traçons par le point P deux droites parallèles aux axes du repère cartésien.

Ces droites coupent la droite donnée en deux points, que nous notons A et B.

Le point A appartient à la droite $ ax + by + c = 0 $ et possède la même abscisse x₀ que le point P.

En remplaçant x par x₀ dans l’équation de la droite, on obtient :

$ ax_0 + by + c = 0 $

ce qui permet d’exprimer l’ordonnée y :

$$ y = \frac{-ax_0 - c}{b} = - \frac{ax_0 + c}{b} $$

Les coordonnées du point A sont donc :

$$ A = \bigg( x_0 \, ; \, - \frac{ax_0 + c}{b} \bigg) $$

De façon analogue, déterminons les coordonnées du point B.

Le point B appartient lui aussi à la droite $ ax + by + c = 0 $ et possède la même ordonnée y₀ que le point P.

En remplaçant y par y₀, on obtient :

$ ax + by_0 + c = 0 $

d’où l’on déduit :

$$ x = \frac{-by_0 - c}{a} = - \frac{by_0 + c}{a} $$

Les coordonnées du point B sont alors :

$$ B = \bigg( - \frac{by_0 + c}{a} \, ; \, y_0 \bigg) $$

Les points A, B et P forment ainsi un triangle ABP dans le plan cartésien.

Ce triangle ABP est un triangle rectangle, puisque ses côtés sont parallèles aux axes du repère, ce qui garantit l’existence d’un angle droit en P.

Dans un triangle rectangle, la hauteur $ \overline{PH} $ relative à l’hypoténuse est donnée par le rapport entre le produit des longueurs des deux côtés de l’angle droit $ \overline{AP} \cdot \overline{BP} $ et la longueur de l’hypoténuse $ \overline{AB} $ :

$$ \overline{PH} = \frac{\overline{AP} \cdot \overline{BP}}{\overline{AB}} $$

Remarque : Cette relation provient de la formule de l’aire d’un triangle. La hauteur associée à une base est égale au double de l’aire divisé par la base : $$ h = \frac{2 \times \text{aire}}{\text{base}} $$ Dans un triangle rectangle, l’aire vaut la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit. En prenant l’hypoténuse pour base, on obtient : $$ h = \frac{2 \times \left( \frac{\overline{AP} \cdot \overline{BP}}{2} \right)}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AP} \cdot \overline{BP}}{\overline{AB}} $$

Il reste maintenant à calculer les longueurs des segments AP, BP et AB.

À partir des coordonnées des points, on obtient directement :

$$ \overline{AP} = \bigg| y_0 - \left( - \frac{ax_0 + c}{b} \right) \bigg| = \bigg| \frac{ax_0 + by_0 + c}{b} \bigg| $$

$$ \overline{BP} = \bigg| x_0 - \left( - \frac{by_0 + c}{a} \right) \bigg| = \bigg| \frac{ax_0 + by_0 + c}{a} \bigg| $$

La longueur de l’hypoténuse AB se calcule ensuite à l’aide du théorème de Pythagore :

$$ \overline{AB} = \sqrt{\overline{AP}^2 + \overline{BP}^2} $$

$$ \overline{AB} = \big| ax_0 + by_0 + c \big| \cdot \sqrt{ \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} } = \frac{ \big| ax_0 + by_0 + c \big| }{ |ab| } \cdot \sqrt{ a^2 + b^2 } $$

En remplaçant ces expressions dans la formule de la hauteur, on obtient :

$$ \overline{PH} = \frac{ \big| \frac{ax_0 + by_0 + c}{b} \big| \cdot \big| \frac{ax_0 + by_0 + c}{a} \big| }{ \frac{ \big| ax_0 + by_0 + c \big| }{ |ab| } \cdot \sqrt{ a^2 + b^2 } } $$

En utilisant les propriétés des valeurs absolues et en simplifiant, il vient :

$$ \require{cancel} \overline{PH} = \frac{ |ax_0 + by_0 + c| }{ \sqrt{ a^2 + b^2 } } $$

On retrouve ainsi la formule usuelle de la distance entre un point et une droite dans le plan.