Équation polaire d’une droite

Une droite peut être décrite en coordonnées polaires de deux manières, selon qu'elle passe ou non par l'origine du repère.


• Si la droite passe par l'origine, elle est entièrement déterminée par l'angle α qu'elle forme avec l'axe polaire. Cet angle fixe le coefficient directeur m de l'équation cartésienne y = mx + q, avec q = 0 et $$ m = \tan \alpha, \quad \text{avec} \quad \alpha \ne \frac{\pi}{2} + k\pi $$
  
• Si la droite ne passe pas par l'origine, elle est déterminée par deux paramètres :
  • la distance minimale d entre la droite et le pôle
  • l'angle β que forme avec l'axe polaire le segment perpendiculaire issu du pôle
  Dans ce cas, tout point P de la droite, de coordonnées polaires (r, α), vérifie la relation : $$ d = r \cdot \cos(\beta - \alpha) $$
  Ici, α est l'argument polaire du point P. La différence θ = β - α correspond à l'angle entre le rayon vecteur et la perpendiculaire à la droite.
  

Lorsque la droite passe par l'origine, la distance d est évidemment nulle.

Exemple pratique

Exemple 1 : De la forme cartésienne à la forme polaire

Considérons la droite :

$$ y = 2x + 3 $$

Nous allons déterminer ses paramètres polaires.

Le coefficient directeur est :

$$ m = 2 $$

Or :

$$ m = \tan \alpha $$

On applique la fonction arc tangente :

$$ \alpha = \arctan(2) $$

$$ \alpha = 63.43^\circ $$

La droite forme donc un angle de 63.43° avec l'axe polaire.

Il reste à calculer la distance minimale d au pôle.

Choisissons un point simple de la droite, par exemple P(0, 3). Son rayon vecteur vaut r = 3 et, dans cette configuration, θ = α.

On applique la formule :

$$ d = r \cdot \cos(\theta) $$

$$ d = 3 \cdot \cos(63.43^\circ) $$

$$ d = 1.34 $$

Les paramètres polaires de la droite sont donc :

α = 63.43° et d = 1.34

Remarque. Le résultat ne dépend pas du point choisi. En prenant un autre point P, on obtiendrait une valeur différente de r et de θ, mais la distance d resterait égale à 1.34.

Exemple 2 : De la forme polaire à la forme cartésienne

On considère maintenant une droite définie par :

$$ d = 1.34 $$

$$ \beta = 153.43^\circ $$

Nous voulons retrouver son équation cartésienne.

Pour un point quelconque P(r, α) de la droite :

$$ d = r \cdot \cos(\beta - \alpha) $$

On remplace :

$$ 1.34 = r \cdot \cos(153.43^\circ - \alpha) $$

On développe avec la formule du cosinus d'une différence :

$$ \cos(\beta - \alpha) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha $$

$$ 1.34 = r[\cos(153.43^\circ)\cos(\alpha) + \sin(153.43^\circ)\sin(\alpha)] $$

En utilisant :

$$ x = r\cos \alpha $$ $$ y = r\sin \alpha $$

On obtient :

$$ 1.34 = x \cos(153.43^\circ) + y \sin(153.43^\circ) $$

On isole y :

$$ y = \frac{1.34}{\sin(153.43^\circ)} - x \frac{\cos(153.43^\circ)}{\sin(153.43^\circ)} $$

Or :

$$ \frac{\cos(153.43^\circ)}{\sin(153.43^\circ)} = -2 $$ $$ \frac{1.34}{\sin(153.43^\circ)} = 3 $$

Donc :

$$ y = 3 + 2x $$

Nous retrouvons bien l'équation cartésienne initiale.

Démonstration

1) Droite passant par l'origine

Si la droite passe par l'origine :

$$ y = m x $$

Pour un point P(r, α) :

$$ x = r\cos \alpha $$ $$ y = r\sin \alpha $$

En substituant :

$$ r\sin \alpha = m(r\cos \alpha) $$

On simplifie par r :

$$ \sin \alpha = m \cos \alpha $$

D'où :

$$ m = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha $$

avec $$ \alpha \ne \frac{\pi}{2} + k\pi $$

2) Droite ne passant pas par l'origine

On considère la distance minimale OA entre la droite et le pôle, perpendiculaire à la droite.

Dans le triangle rectangle OAP :

$$ d = r \cdot \cos(\beta - \alpha) $$

Cette relation constitue l'expression polaire générale d'une droite qui ne passe pas par l'origine.