Positions relatives de deux droites dans l’espace

Dans l'espace, deux droites peuvent être coplanaires ou gauches, selon qu'elles sont contenues ou non dans un même plan. Lorsqu'elles sont coplanaires, elles sont soit parallèles (distinctes ou confondues), soit sécantes.

Comprendre les positions relatives

En géométrie tridimensionnelle (x, y, z), la relation entre deux droites dépend de deux éléments essentiels, leur direction et leur position.

• Droites coplanaires
  Deux droites sont coplanaires lorsqu'il existe un plan qui les contient toutes les deux. Trois cas sont alors possibles :
  
  • Sécantes : elles se coupent en un point unique.
  • Confondues : elles partagent tous leurs points.
  • Parallèles : elles ne se rencontrent jamais.
  
• Droites gauches
  Deux droites sont dites gauches lorsqu'aucun plan ne peut les contenir simultanément. Elles ne sont ni parallèles ni sécantes.
  

  La propriété clé des droites gauches est l'absence de plan commun. Contrairement aux droites parallèles, qui restent toujours dans un même plan, les droites gauches occupent des plans différents. Une image simple consiste à imaginer deux crayons suspendus dans l'air, orientés différemment, sans jamais se toucher ni être parallèles.

Déterminer si deux droites sont coplanaires

Pour vérifier si deux droites de l'espace appartiennent à un même plan, on utilise les outils de l'algèbre linéaire.

La méthode dépend de la forme des équations, représentation cartésienne ou vectorielle/paramétrique.

A] Représentation cartésienne

En coordonnées cartésiennes, une droite peut être décrite comme l'intersection de deux plans :

$$ \begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a_3 x + b_3 y + c_3 z + d_3 = 0 \\ a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4 = 0 \end{cases} $$

On regroupe ces équations dans un système linéaire :

$$ \begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z + d_3 = 0 \\ a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4 = 0 \end{cases} $$

ou, de façon équivalente :

$$ \begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = - d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = - d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = - d_3 \\ a_4 x + b_4 y + c_4 z = - d_4 \end{cases} $$

Ce système comporte trois inconnues (x, y, z).

La matrice des coefficients est :

$$ A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 \end{pmatrix} $$

La matrice augmentée est :

$$ A|B = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & -d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & -d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & -d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & -d_4 \end{pmatrix} $$

Selon le théorème de Rouché-Capelli, le système est compatible si :

$$ rg(A) = rg(A|B) $$

Dans ce cas, les deux droites admettent au moins un point commun et sont donc coplanaires.

• Si $ rg(A) = rg(A|B) = 3 $ le système admet une solution unique. Les droites sont sécantes.
• Si $ rg(A) = rg(A|B) < 3 $ le système admet une infinité de solutions. Les droites sont confondues.

Si les rangs $ rg(A) \ne rg(A|B) $ le système est incompatible et les droites ne possèdent aucun point commun.

• Si $ rg(A|B) = 4 $ le rang est maximal. Les droites sont gauches.
• Si $ rg(A|B) < 4 $ les vecteurs normaux sont linéairement dépendants. Les droites sont parallèles distinctes.

Exemple

Considérons les équations cartésiennes suivantes :

$$ \begin{cases} 4x+3y+2z=4 \\ -3x+2y+z=4 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 3x-4y-2z=2 \\ -3x-3y+2z=1 \end{cases} $$

On obtient le système :

$$ \begin{cases} 4x+3y+2z=4 \\ -3x+2y+z=4 \\ 3x-4y-2z=2 \\ -3x-3y+2z=1 \end{cases} $$

Calcul des rangs :

$$ r_A = 3 \quad ; \quad r_{A|B} = 4 $$

Les rangs étant différents, le système est incompatible.

Les deux droites sont donc gauches.

B] Représentation vectorielle ou paramétrique

Lorsque les droites sont données sous forme paramétrique, on examine leurs vecteurs directeurs.

$$ \begin{cases} x = x_1 + l_1 t_1 \\ y = y_1 + m_1 t_1 \\ z = z_1 + n_1 t_1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x = x_2 + l_2 t_2 \\ y = y_2 + m_2 t_2 \\ z = z_2 + n_2 t_2 \end{cases} $$

Matrice des vecteurs directeurs :

$$ r_k = \begin{pmatrix} l_1 & l_2 \\ m_1 & m_2 \\ n_1 & n_2 \end{pmatrix} $$

• r_k = 1 → vecteurs dépendants → droites parallèles ou confondues.
• r_k = 2 → vecteurs indépendants → droites sécantes ou gauches.

Exemple

$$ \begin{cases} x = 3 + 2t_1 \\ y = -1 + 3t_1 \\ z = 1 + 4t_1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x = 1 + 3t_2 \\ y = 2 + t_2 \\ z = 4 - 2t_2 \end{cases} $$

Vecteurs directeurs :

$$ v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Matrice :

$$ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} $$

$$ r_k = 2 $$

Les vecteurs sont linéairement indépendants.

On vérifie alors l'existence éventuelle d'un point commun en résolvant le système :

$$ \begin{cases} 1 + 3t_2 = 3 + 2t_1 \\ 2 + t_2 = -1 + 3t_1 \\ 4 - 2t_2 = 1 + 4t_1 \end{cases} $$

Le système est incompatible.

Les droites sont donc gauches.

Cette démarche s'applique à toute paire de droites dans l'espace.