Distance entre deux droites gauches

La distance entre deux droites gauches $ r $ et $ s $ correspond à la longueur du segment perpendiculaire commun $ AB $. Ce segment est le plus court possible reliant un point de la première droite à un point de la seconde. Il vérifie les relations suivantes : $$ AB \perp r $$ $$ AB \perp s $$ avec $ A \in r $ et $ B \in s $.
distance minimale entre deux droites gauches dans l'espace tridimensionnel

Dans l'espace, il existe une unique droite $ t $ qui est perpendiculaire simultanément aux deux droites gauches $ r $ et $ s $.

Cette droite $ t $ coupe chacune des droites en un point, respectivement $ A \in r $ et $ B \in s $. Le segment $ AB $ reliant ces deux points représente alors la distance minimale entre les deux droites.

Autrement dit, la distance entre les droites gauches $ r $ et $ s $ est définie par la longueur du segment $ AB $.

Remarque. Dans l'espace tridimensionnel (x, y, z), on dit que deux droites sont gauches lorsqu'elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.

Démonstration
Exemple pratique

Démonstration

Par définition géométrique, deux droites gauches admettent une unique perpendiculaire commune. Cette droite intersecte chacune des droites en un point unique, et le segment qui joint ces deux points est nécessairement celui de longueur minimale. Voyons comment établir ce résultat à l'aide du calcul vectoriel.

Considérons deux droites gauches dans l'espace tridimensionnel.

Par hypothèse, ces droites ne sont ni sécantes ni parallèles.

La première droite $ r_1 $ passe par le point $ \mathbf{P}_1 $ et possède pour vecteur directeur $ \mathbf{d}_1 $.
La seconde droite $ r_2 $ passe par le point $ \mathbf{P}_2 $ et possède pour vecteur directeur $ \mathbf{d}_2 $.

Leurs équations paramétriques s'écrivent :

$$ r_1(t) = \mathbf{P}_1 + t \, \mathbf{d}_1 \quad \text{et} \quad r_2(s) = \mathbf{P}_2 + s \, \mathbf{d}_2 $$

où $ t $ et $ s $ sont des paramètres réels.

Pour construire une droite perpendiculaire à la fois à $ r_1 $ et à $ r_2 $, il faut qu'elle soit orthogonale à leurs vecteurs directeurs respectifs.

Un vecteur orthogonal à la fois à $ \mathbf{d}_1 $ et à $ \mathbf{d}_2 $ est obtenu à l'aide du produit vectoriel :

$$ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 $$

Ce vecteur $ \mathbf{n} $ fournit une direction possible pour la perpendiculaire commune aux deux droites.

Introduisons maintenant le vecteur $ \mathbf{v} $ reliant un point de $ r_1 $ à un point de $ r_2 $ :

$$ \mathbf{v} = \mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1 $$

La distance minimale entre les deux droites est donnée par la projection orthogonale de $ \mathbf{v} $ sur $ \mathbf{n} $ :

$$ d = \frac{| \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} |}{\|\mathbf{n}\|} $$

Cette expression repose sur le produit scalaire $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} $ et sur la norme euclidienne du vecteur $ \mathbf{n} $.

La perpendiculaire commune est unique, car le vecteur $ \mathbf{n} $, défini par le produit vectoriel $ \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 $, est déterminé de manière unique à un facteur scalaire près.

Les points d'intersection de cette droite avec $ r_1 $ et $ r_2 $ sont donc eux aussi uniques, ce qui garantit l'unicité du segment de distance minimale.

Exemple pratique

Appliquons cette méthode à un cas concret. Considérons deux droites gauches de l'espace, définies par les équations paramétriques suivantes.

Première droite ($ r_1 $) :

$$ r_1: \begin{cases}
x = 1 + t \\
y = 2 - t \\
z = 3 + 2t
\end{cases} $$

Un point de cette droite est $ \mathbf{P}_1 = (1, 2, 3) $, et son vecteur directeur est $ \mathbf{d}_1 = (1, -1, 2) $.

Seconde droite ($ r_2 $) :

$$ r_2: \begin{cases}
x = 2 + s \\
y = -1 + 2s \\
z = 4 - s
\end{cases} $$

Un point de cette droite est $ \mathbf{P}_2 = (2, -1, 4) $, et son vecteur directeur est $ \mathbf{d}_2 = (1, 2, -1) $.

exemple illustré du calcul de la distance entre deux droites gauches

Calculons d'abord le vecteur $ \mathbf{n} $, orthogonal aux deux vecteurs directeurs :

$$ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 $$

Avec $ \mathbf{d}_1 = (1, -1, 2) $ et $ \mathbf{d}_2 = (1, 2, -1) $, on obtient :

$$ \mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -1 & 2 \\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1 - 4) - \mathbf{j}(-1 - 2) + \mathbf{k}(2 + 1) $$

$$ \mathbf{n} = -3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (-3, 3, 3) $$

vecteur normal commun aux deux droites

Calculons ensuite le vecteur reliant les deux points donnés :

$$ \mathbf{v} = \mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1 = (1, -3, 1) $$

vecteur reliant les points des deux droites

La distance minimale entre les deux droites est la longueur de la projection orthogonale de $ \mathbf{v} $ sur $ \mathbf{n} $ :

$$ d = \frac{| \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} |}{\|\mathbf{n}\|} $$

On calcule :

$$ \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = -9 \quad \Rightarrow \quad | \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} | = 9 $$

$$ \|\mathbf{n}\| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $$

D'où :

$$ d = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

La distance minimale entre les deux droites gauches est donc :

$$ d = \sqrt{3} $$

Cette valeur correspond exactement à la longueur du segment perpendiculaire commun $ AB $ reliant les deux droites.

segment perpendiculaire commun représentant la distance minimale

L'exemple est ainsi entièrement résolu, et la méthode peut être appliquée de manière identique à toute paire de droites gauches dans l'espace.