Équation d’une droite passant par l’origine du repère

L'équation d'une droite qui passe par l'origine O(0,0) dans le plan cartésien s'écrit : $$ y = mx $$ exemple d'une droite passant par l'origine du repère cartésien

Cette relation est un cas particulier de l'équation générale d'une droite dans le plan.

$$ y = mx + c $$

Dans cette forme, le terme $ c $ représente l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des y.

Lorsque la droite passe par l'origine du repère, cette valeur est nulle.

$$ c = 0 $$

L'équation se simplifie donc en :

$$ y = mx $$

La valeur de $ y $ dépend alors uniquement de la pente (m) et de la valeur de la variable $ x $.

La pente peut également être exprimée par le rapport :

$$ m = \frac{y}{x} $$

La pente $ m $ mesure l'inclinaison de la droite. Plus précisément, elle correspond à la tangente de l'angle formé par la droite avec l'axe des x.

Note: L'équation $ y = mx $ est l'une des formes les plus simples pour représenter une droite dans un repère lorsque celle-ci passe par l'origine. Elle exprime une relation linéaire directe entre $ x $ et $ y $, sans déplacement vertical. Les deux variables sont donc directement proportionnelles, car leur rapport reste constant : $ m = \frac{y}{x} $.

La pente $ m $ peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

Si $ m > 0 $, la droite est croissante de gauche à droite. L'angle qu'elle forme avec l'axe des x est alors aigu.
Si $ m < 0 $, la droite est décroissante de gauche à droite. L'angle formé avec l'axe des x est obtus.
Si $ m = 0 $, la droite est horizontale et se confond avec l'axe des x. Son équation est $ y = 0 $ et l'angle avec l'axe des x est nul.

famille de droites passant par l'origine du repère cartésien

Un autre cas particulier apparaît lorsque la pente n'est pas définie. La droite est alors verticale et coïncide avec l'axe des y.

Dans cette situation, l'équation de la droite est :

$$ x = 0 $$

représentation d'une droite verticale passant par l'origine du repère cartésien

Explication: Lorsque la pente $ m $ est indéfinie ou infinie, la droite ne peut plus être écrite sous la forme $ y = mx $. Pour représenter une droite parallèle à l'axe des y, on utilise l'équation $ x = k $, où $ k $ indique la position de la droite sur l'axe des x. Si la droite passe par l'origine, cette constante vaut $ 0 $. L'équation devient donc $ x = 0 $.

Il existe aussi deux cas particuliers très importants correspondant aux pentes $ m = 1 $ et $ m = -1 $.

Si m = 1, la droite correspond à la bissectrice des premier et troisième quadrants. Son équation est :

$$ y = x $$

équation de la droite lorsque m=1

Si m = -1, la droite correspond à la bissectrice des deuxième et quatrième quadrants. Son équation est :

$$ y = -x $$

équation de la droite lorsque m=-1

Dans ces deux situations, la droite forme un triangle rectangle isocèle avec les axes, composé d'un angle droit de 90° et de deux angles de 45°.

Et ainsi de suite.